Теорема Сильвестра — Галлаї

теорема евклідової геометрії
Версія від 07:21, 26 червня 2021, створена Lxlalexlxl (обговорення | внесок) (Створено шляхом перекладу сторінки «Теорема Сильвестра»)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)

Теорема Сильвестра - класичний результат комбінаторної геометрії про конфігурації прямих на площині.

Формулювання

На площині дано скінченне число точок, причому таке, що будь-яка пряма, яка проходить через дві з даних точок, містить ще одну дану точку. Тоді всі дані точки лежать на одній прямій.

Про доведення

Теорема Сильвестра знаменита тим, що її досить складно довести безпосередньо і при цьому просте доведення полягає в переході до її двоїстого переформулювання:

Якщо на площині дано таку скінченну множину прямих, що через будь-яку точку перетину двох даних прямих проходить ще одна з них, то всі вони проходять через одну точку або паралельні.|}

Доведення двоїстого переформулювання

Нехай одна з даних прямих   не проходить через одну з точок перетину  . Знайдемо точку перетину і пряму, для яких відстань менша, ніж від   до  . Оскільки число перетинів скінченне, це дасть суперечність. Випадок, коли через   проходить пряма, не паралельна  , зображено на малюнку. Якщо ж третя пряма, що проходить через  , паралельна до прямої  , то розглянемо трикутник  , середні лінії якого утворюють трикутник  , де   і   - точки перетину двох прямих, що проходять через  , з прямою  . Якщо третя пряма, що проходить через  , не перетинає відрізка  , то відстань від точки   до неї менша, ніж до  . Аналогічно, якщо третя пряма, що проходить через  , не перетинає відрізка  , то відстань від точки   до неї менша, ніж до  . Якщо ж третя пряма, що проходить через  , перетинає відрізок   і третя пряма, що проходить через  , перетинає відрізок  , то виникає точка перетину цих прямих. Якщо вона не збігається з  , то вона ближче до прямої  , ніж  . Якщо ж вона збігається з  , то можна застосувати вищенаведене міркування до неї і прямої  . Виникне трикутник  , середні лінії якого утворюють трикутник  . Замінюючи тепер у наших міркуваннях трикутник   трикутником   і діючи далі аналогічно, отримуємо суперечність зі скінченністю множини. ■

Пряме доведення

Пряме доведення знайшов через пів століття Келлі[en].

Припустимо неколінеарність точок даної множини. Вибираємо пару: її точка   і пряма  , для якої відстань від   до   мінімальна додатна; така пара існує з огляду на скінченність множин точок і з'єднувальних прямих. Позначимо на   три точки:  ,   і   з даної множини. Нехай точка   є основою перпендикуляра, опущеного з   на  . Не зменшуючи загальності, можна вважати, що точки  ,   і   розташовані на   в зазначеному порядку; при цьому точки   і   можуть збігатися. Тоді відстань від точки   до прямої   додатна і менша, ніж від   до  . Суперечність. ■

Зауваження

Оскільки в доведенні ніяк не використовується умова, що всі точки лежать у площині, теорема Сильвестра поширюється на множини в евклідовому просторі довільної розмірності.

Див. також