Відмінності між версіями «Теорема Сильвестра — Галлаї»

теорема евклідової геометрії
[перевірена версія][перевірена версія]
(Створено шляхом перекладу сторінки «Теорема Сильвестра»)
 
 
(Не показано одну проміжну версію цього користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Теорема Сильвестра''' - класичний результат [[Комбінаторна геометрія|комбінаторної геометрії]] про [[Конфігурація прямих|конфігурації прямих]] на площині.
'''Теорема Сильвестра''' — класичний результат [[Комбінаторна геометрія|комбінаторної геометрії]] про [[Конфігурація прямих|конфігурації прямих]] на площині.


== Формулювання ==
== Формулювання ==
Рядок 7: Рядок 7:
Теорема Сильвестра знаменита тим, що її досить складно довести безпосередньо і при цьому просте доведення полягає в переході до її [[Двоїстість (проєктивна геометрія)|двоїстого]] переформулювання:
Теорема Сильвестра знаменита тим, що її досить складно довести безпосередньо і при цьому просте доведення полягає в переході до її [[Двоїстість (проєктивна геометрія)|двоїстого]] переформулювання:
{{Рамка}}
{{Рамка}}
Якщо на площині дано таку скінченну множину прямих, що через будь-яку точку перетину двох даних прямих проходить ще одна з них, то всі вони проходять через одну точку або паралельні.{{/рамка}}
Якщо на площині дано таку скінченну множину прямих, що через будь-яку точку перетину двох даних прямих проходить ще одна з них, то всі вони проходять через одну точку або паралельні.
{{/рамка}}


=== Доведення двоїстого переформулювання ===
=== Доведення двоїстого переформулювання ===
[[Файл:Sylvester.svg|міні]]
[[Файл:Sylvester.svg|міні]]
[[Файл:Сильвестр.jpg|міні]]
[[Файл:Сильвестр.jpg|міні]]
Нехай одна з даних прямих <math>\ell</math> не проходить через одну з точок перетину <math>P</math>. Знайдемо точку перетину і пряму, для яких відстань менша, ніж від <math>P</math> до <math>\ell</math>. Оскільки число перетинів скінченне, це дасть суперечність. Випадок, коли через <math>P</math> проходить пряма, не паралельна <math>\ell</math>, зображено на малюнку. Якщо ж третя пряма, що проходить через <math>P</math>, паралельна до прямої <math>\ell</math>, то розглянемо трикутник <math>A'B'P'</math>, середні лінії якого утворюють трикутник <math>ABP</math>, де <math>A</math> і <math>B</math> - точки перетину двох прямих, що проходять через <math>P</math>, з прямою <math>\ell</math>. Якщо третя пряма, що проходить через <math>A</math>, не перетинає відрізка <math>BP'</math>, то відстань від точки <math>P</math> до неї менша, ніж до <math>\ell</math>. Аналогічно, якщо третя пряма, що проходить через <math>B</math>, не перетинає відрізка <math>AP'</math>, то відстань від точки <math>P</math> до неї менша, ніж до <math>\ell</math>. Якщо ж третя пряма, що проходить через <math>A</math>, перетинає відрізок <math>BP'</math> і третя пряма, що проходить через <math>B</math>, перетинає відрізок <math>AP'</math>, то виникає точка перетину цих прямих. Якщо вона не збігається з <math>P'</math>, то вона ближче до прямої <math>\ell</math>, ніж <math>P</math>. Якщо ж вона збігається з <math>P'</math>, то можна застосувати вищенаведене міркування до неї і прямої <math>\ell</math>. Виникне трикутник <math>PP''P'''</math>, середні лінії якого утворюють трикутник <math>ABP'</math>. Замінюючи тепер у наших міркуваннях трикутник <math>ABP</math> трикутником <math>P''P'A</math> і діючи далі аналогічно, отримуємо суперечність зі скінченністю множини. ■
Нехай одна з даних прямих <math>\ell</math> не проходить через одну з точок перетину <math>P</math>. Знайдемо точку перетину і пряму, для яких відстань менша, ніж від <math>P</math> до <math>\ell</math>. Оскільки число перетинів скінченне, це дасть суперечність. Випадок, коли через <math>P</math> проходить пряма, не паралельна <math>\ell</math>, зображено на малюнку. Якщо ж третя пряма, що проходить через <math>P</math>, паралельна до прямої <math>\ell</math>, то розглянемо трикутник <math>A'B'P'</math>, середні лінії якого утворюють трикутник <math>ABP</math>, де <math>A</math> і <math>B</math>&nbsp;— точки перетину двох прямих, що проходять через <math>P</math>, з прямою <math>\ell</math>. Якщо третя пряма, що проходить через <math>A</math>, не перетинає відрізка <math>BP'</math>, то відстань від точки <math>P</math> до неї менша, ніж до <math>\ell</math>. Аналогічно, якщо третя пряма, що проходить через <math>B</math>, не перетинає відрізка <math>AP'</math>, то відстань від точки <math>P</math> до неї менша, ніж до <math>\ell</math>. Якщо ж третя пряма, що проходить через <math>A</math>, перетинає відрізок <math>BP'</math> і третя пряма, що проходить через <math>B</math>, перетинає відрізок <math>AP'</math>, то виникає точка перетину цих прямих. Якщо вона не збігається з <math>P'</math>, то вона ближче до прямої <math>\ell</math>, ніж <math>P</math>. Якщо ж вона збігається з <math>P'</math>, то можна застосувати вищенаведене міркування до неї і прямої <math>\ell</math>. Виникне трикутник <math>PP''P'''</math>, середні лінії якого утворюють трикутник <math>ABP'</math>. Замінюючи тепер у наших міркуваннях трикутник <math>ABP</math> трикутником <math>P''P'A</math> і діючи далі аналогічно, отримуємо суперечність зі скінченністю множини. ■


=== Пряме доведення ===
=== Пряме доведення ===
Рядок 23: Рядок 24:


== Див. також ==
== Див. також ==

* [[Теорема де Брейна — Ердеша]]
* [[Теорема де Брейна — Ердеша]]
{{перекласти|en|Sylvester–Gallai theorem}}
[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Теореми евклідової геометрії]]
[[Категорія:Теореми евклідової геометрії]]

Поточна версія на 07:29, 26 червня 2021

Теорема Сильвестра — класичний результат комбінаторної геометрії про конфігурації прямих на площині.

ФормулюванняРедагувати

На площині дано скінченне число точок, причому таке, що будь-яка пряма, яка проходить через дві з даних точок, містить ще одну дану точку. Тоді всі дані точки лежать на одній прямій.

Про доведенняРедагувати

Теорема Сильвестра знаменита тим, що її досить складно довести безпосередньо і при цьому просте доведення полягає в переході до її двоїстого переформулювання:

Якщо на площині дано таку скінченну множину прямих, що через будь-яку точку перетину двох даних прямих проходить ще одна з них, то всі вони проходять через одну точку або паралельні.

Доведення двоїстого переформулюванняРедагувати

Нехай одна з даних прямих   не проходить через одну з точок перетину  . Знайдемо точку перетину і пряму, для яких відстань менша, ніж від   до  . Оскільки число перетинів скінченне, це дасть суперечність. Випадок, коли через   проходить пряма, не паралельна  , зображено на малюнку. Якщо ж третя пряма, що проходить через  , паралельна до прямої  , то розглянемо трикутник  , середні лінії якого утворюють трикутник  , де   і   — точки перетину двох прямих, що проходять через  , з прямою  . Якщо третя пряма, що проходить через  , не перетинає відрізка  , то відстань від точки   до неї менша, ніж до  . Аналогічно, якщо третя пряма, що проходить через  , не перетинає відрізка  , то відстань від точки   до неї менша, ніж до  . Якщо ж третя пряма, що проходить через  , перетинає відрізок   і третя пряма, що проходить через  , перетинає відрізок  , то виникає точка перетину цих прямих. Якщо вона не збігається з  , то вона ближче до прямої  , ніж  . Якщо ж вона збігається з  , то можна застосувати вищенаведене міркування до неї і прямої  . Виникне трикутник  , середні лінії якого утворюють трикутник  . Замінюючи тепер у наших міркуваннях трикутник   трикутником   і діючи далі аналогічно, отримуємо суперечність зі скінченністю множини. ■

Пряме доведенняРедагувати

Пряме доведення знайшов через пів століття Келлі[en].

Припустимо неколінеарність точок даної множини. Вибираємо пару: її точка   і пряма  , для якої відстань від   до   мінімальна додатна; така пара існує з огляду на скінченність множин точок і з'єднувальних прямих. Позначимо на   три точки:  ,   і   з даної множини. Нехай точка   є основою перпендикуляра, опущеного з   на  . Не зменшуючи загальності, можна вважати, що точки  ,   і   розташовані на   в зазначеному порядку; при цьому точки   і   можуть збігатися. Тоді відстань від точки   до прямої   додатна і менша, ніж від   до  . Суперечність. ■

ЗауваженняРедагувати

Оскільки в доведенні ніяк не використовується умова, що всі точки лежать у площині, теорема Сильвестра поширюється на множини в евклідовому просторі довільної розмірності.

Див. такожРедагувати