Відкрити головне меню

Теорема Крамера—Вольда — твердження в статистиці, теорії ймовірностей та теорії міри, що дозволяє звести окремі властивості багатовимірних ймовірнісних розподілів до одновимірних. Названа на честь шведського математика Гаральда Крамера і норвезького статистика Германа Вольда.

Зміст

Твердження теоремиРедагувати

Нехай

 

і

 випадкові вектори розмірності  k. Тоді   (збіжність за розподілом) якщо і тільки якщо:
 

для кожного  , that is, тобто довільна фіксована лінійна комбінація   збігається за розподілом до відповідної лінійної комбінації елементів вектора  .

Зокрема   (тобто випадкові вектори розмірності k мають однаковий розподіл) тоді і тільки тоді коли  

ДоведенняРедагувати

Теорема Крамера—Вольда легко одержується з властивостей характеристичної функції, що у багатовимірному випадку визначається формулою:

 

Згідно з властивостями характеристичних функцій   де збіжність функцій є поточковою. Але   і тому:

 

ДжерелаРедагувати

ПосиланняРедагувати