Теорема Борсука — Уляма

математична теорема

Теорема Бо́рсука - У́лама стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери.

Історія теореми

Теорема була вперше сформульована Станіславом Уламом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.

Теорема

Якщо задана неперервна функція , де - сфера в -мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки , що .

Приклади та інтерпертація

З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. Це припускає, що температура і атмосферний тиск безперервно змінюються. Для випадку ж, коли n = 1, випливає, що на земному екваторі завжди існує пара протилежних точок із тією самою температурою температурою повітря, що можна значно легше проілюструти, використовуючи Теорему Больцано-Коші.

Наслідки

  • З теореми Борсука — Улама випливає теорема Брауера про нерухому точку.
  • Жодна підмножина   не є гомеоморфною до  .
  • Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо   покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама)
  • Для довільних компактних множин   в   існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.

Література