Теорема Барбашина — Красовського

Версія від 07:19, 26 лютого 2019, створена PavloChemBot (обговорення | внесок) (автоматична заміна {{Не перекладено}} вікі-посиланнями на перекладені статті)

В теорії звичайних диференціальних рівнянь теорема Барбашина-Красовського (також принцип інваріантності ЛаСаля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь.[1] Загальне твердження було незалежно доведене М. М. Красовським[ru][2] та Д. П. ЛаСалєм[3]. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

Постановка

Стан системи у фазовому просторі   (де  ) в час   даний точкою  , де   диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь  , де   неперервна функція,  . Систему можна коротко записати як  . Припустимо що   є точкою рівноваги системи, тобто  .

Теорема Барбашина-Красовського

Якщо існує додатно визначена[en] нескінченно велика функція   похідна від якої по часу   вздовж траєкторій системи   є від'ємно-сталою (тобто   повсюди), причому рівність   можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки  , то нульовий розв'язок системи рівнянь   стійкий в цілому.

Принцип інваріантності ЛаСаля

Нехай   скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє

  1.   коли  ,
  2.   повсюди,
  3.   з тим як  .

Якщо рівність   можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки  , то нульовий розв'язок системи рівнянь   стійкий в цілому.

Оригінальні статті

Посилання

  • (укр.) Самойленко, А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах, Вища школа, Київ, 1994.
  • (укр.) М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості.

Див. також

Примітки

  1. М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості, §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова. (укр.)
  2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959. (рос.)
  3. LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (англ.)