Теорема Барбашина — Красовського

У теорії звичайних диференціальних рівнянь теорема Барбашина-Красовського (також принцип інваріантності ЛаСаля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови стійкості в цілому нульового розв'язку системи рівнянь. Загальне твердження було незалежно доведене Н. Н. Красовським та Д. П. ЛаСалєм. В англійськомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській та радянській літературі вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

Твердження

Якщо існує додатно визначена нескінченно велика функція $V({\vec {x}})$ похідна від якої по часу ${\frac {dV}{dt}}$ вздовж траєкторій системи ${\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})$ є від'ємно-сталою (тобто ${\frac {dV}{dt}}\leq 0$ повсюди), причому рівність ${\frac {dV}{dt}}=0$ можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки ${\vec {x}}={\vec {0}}$, то нульовий розв'язок системи рівнянь ${\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})$ стійкий в цілому.

Оригінальні статті

• (англ. ) LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (PDF)
• (рос. ) Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом, 1952.
• (рос. ) Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959 (PDF)

Посилання

• (укр. ) Самойленко, А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах, Вища школа, Київ, 1994.
• (укр. ) М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості. PDF

Див. також

• Функція Ляпунова