Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Барбашина — Красовського

У теорії [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]] '''теоре́ма Барба́шина — Красо́вського''' (також '''при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля'''; {{lang-en|LaSalle's invariance principle}}) дає [[Необхідна і достатня умова|достатні умови]] [[Стійкість (динамічні системи)|асимптотичної стійкості]] нульового розв'язку системи [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]].<ref name=perestyuk>М.&nbsp;О.&nbsp;Перестюк, О.&nbsp;С.&nbsp;Чернікова. [http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf''Теорія стійкості''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304224308/http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf |date=4 березня 2016 }}, §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова.</ref> Загальне твердження було незалежно доведене {{нп|Миколай Красовський|М.&nbsp;М.&nbsp;Красовським|ru|Красовский, Николай Николаевич}}<ref name=krasovskii>Красовский Н. Н. [http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf ''Некоторые задачи теории устойчивости движения''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151119183337/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf |date=19 листопада 2015 }}, 1959. {{ref-ru}}</ref> та [[Джозеф П'єр ЛаСаль|Д.&nbsp;П.&nbsp;ЛаСалєм]]<ref name=lasalle>[[Джозеф П'єр ЛаСаль|LaSalle, J.P.]] [https://web.archive.org/web/20190430182452/http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf ''Some extensions of Liapunov's second method''], IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp.&nbsp;520-527, 1960. {{ref-en}}</ref>. В англомовних джерелах результат відомий під назвою ''принцип інваріантності ЛаСаля'' ({{lang-en|LaSalle's invariance principle}}), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін ''теорема Красовського'', або ''теорема Барбашина-Красовського''.

== Постановка ==
Стан системи у фазовому просторі <math>\R^n</math> (де <math>n \in \N</math>) в час <math>t \in \R</math> даний точкою <math>\vec{x}(t)=( x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t) )</math>, де <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> [[Диференційовна функція|диференційовні функції]]. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь <math>\dot{\vec{x}}(t) = f(\vec{x}(t))</math>, де <math>f:\R^n \to \R^n</math> [[неперервна функція]], <math>f(\vec{x}(t)) =  \frac{d}{dt}\vec{x}(t)</math>. Систему можна коротко записати як <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math>. Припустимо що  <math>\vec{0} \in \mathbb{R}^n</math> є точкою рівноваги системи, тобто <math>f(\vec{0}) = \vec{0}</math>.

== Теорема Барбашина — Красовського ==
Якщо існує {{нп|додатно визначена функція|додатно визначена||positive-definite function}} нескінченно велика функція <math>V(\vec{x})</math> [[Повна похідна|похідна]] від якої по часу <math>\frac{dV}{dt}</math> вздовж траєкторій системи <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> є від'ємно-сталою (тобто <math>\frac{dV}{dt} \leq 0</math> повсюди), причому рівність <math>\frac{d}{dt}V(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> [[стійкість в цілому|стійкий в цілому]].

== Принцип інваріантності ЛаСаля ==
Нехай <math>V(\vec{x})</math> [[Числова функція|скалярна функція]] з [[Неперервна функція|неперервними]] [[Часткова похідна|частковими похідними]] повсюди яка також задовольняє
# <math>V(\vec{x}) > 0 </math> коли <math>\vec{x} \neq \vec{0}</math>,
# <math>\dot{V}(\vec{x}) \leq 0</math> повсюди,
# <math>V(\vec{x}) \to \infty </math> з тим як <math>||\vec{x}|| \to \infty </math>.
Якщо рівність <math>\dot{V}(\vec{x}) \equiv \nabla V \cdot f(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> [[стійкість в цілому|стійкий в цілому]].

== Див. також ==
* [[Функція Ляпунова]]
* [[Теорія стійкості]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Оригінальні статті ==
* {{lng|en}} ''[[Джозеф П'єр ЛаСаль|LaSalle J. P.]]'' [https://web.archive.org/web/20190430182452/http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf Some extensions of Liapunov's second method], IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp.&nbsp;520–527, 1960. — Загальне твердження.
* {{lng|ru}} ''Барбашин Е. А., Красовский Н. Н.'' Об устойчивости движения в целом, 1952. — Окремий випадок.
* {{lng|ru}} ''Красовский Н. Н.'' [https://web.archive.org/web/20151119183337/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf Некоторые задачи теории устойчивости движения], 1959. — Загальне твердження.

== Посилання ==
* ''[[Самойленко Анатолій Михайлович|Самойленко А. М.]], Кривошея С. А., Перестюк Н. А.'' Диференціальні рівняння у прикладах і задачах. — {{К.}} : Вища школа, 1994.
* ''Перестюк М. О., Чернікова О. С.'' [https://web.archive.org/web/20160304224308/http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf Теорія стійкості].

{{^}}{{портали|Математика}}

[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
[[Категорія:1952 у науці]]
[[Категорія:1959 у науці]]
[[Категорія:1960 у науці]]