Числення Іто — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як броунівський рух (або вінерівський процес). Названа в честь творця, японського математика Кійосі Іто. Часто застосовується в фінансовій математиці і теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто

де — броунівський рух або, в більш загальному формулюванні, напівмартингал. Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну варіацію на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі інтеграла Рімана — Стілтьєса. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту .

Позначення

 

Інтегрування броунівського руху

 

Процес Іто

 

Семімартингали, как інтегратори

 


Властивості

 
 


Інтегрування частинами

 

Лема Іто

 

Мартингали-інтегратори

Локальні мартингали

Квадратично інтегровні мартингали

 

p-інтегральні мартингали

Стохастична похідна

 
    and    

Див. також

Посилання

Література

  • Allouba, Hassan (2006). A Differentiation Theory for Itô's Calculus. Stochastic Analysis and Applications 24: 367–380. DOI 10.1080/07362990500522411. 
  • Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981—238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
  • He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
  • Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
  • Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
  • Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
  • Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.