У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Зміст

Операції зі степеневими рядами

Додавання і віднімання

Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:

 
 

тоді

 

Множення і ділення

Для множення і ділення одержуються формули:

 
 
 

Послідовність   називається конволюцією послідовностей   і  .

Для ділення виконується:

 
 

і значення знаходяться з формул конволюції.

Збіжність степеневих рядів

Степеневий ряд називається збіжним в точці x0, якщо збіжним є відповідний числовий ряд  . Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.

Ознаки збіжності

Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.

  • Перша теорема Абеля: Нехай ряд   є збіжним в точці  . Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу   рівномірно по   на будь-якій компактній підмножині цього круга.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при  , він є розбіжним при всіх  , таких що  . З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга   (можливо, нульовий або нескінченний), що при   ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по   на компактних підмножинах круга  ), а при   ряд є розбіжним. Це значення   називається радіусом збіжності ряду, а круг   — кругом збіжності.

 

Нехай   і   — два степеневі ряди з радіусами збіжності   і  . Тоді

 
 
 

Якщо у ряду   вільний член нульовий, тоді

 

Питання про збіжність ряду в точках межі   круга збіжності потребує додаткового аналізу:

Ознака Д’Аламбера: Якщо при   і   виконано нерівність
 
тоді степеневий ряд   є абсолютно збіжним в усіх точках кола   і збіжність є рівномірною по  .
  • Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду   додатні і послідовність   монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола  , окрім, можливо, точки  .
  • Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці  . Тоді він є рівномірно збіжним по   на відрізку, що сполучає точки 0 і  .

Похідна і інтеграл

Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:

 
 

Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.

Степеневі ряди багатьох змінних

Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:

 

або, в мультиіндексних позначеннях

 

де   — це вектор  ,  мультиіндекс  ,   — одночлен  .

Див. також

Література