Відмінності між версіями «Ззірчення»

193 байти додано ,  6 місяців тому
нема опису редагування
[[Файл:Academ_Stellated_dodecagon.svg|міні|Побудова ззірченого [[дванадцятикутник]]а: [[Правильний многокутник|правильного многокутник]]а з [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]]  {12/5}.]]
В [[геометрія|геометрії]], '''ззірченням''' називають процес продовження [[многокутник|многокутника]] (у двовимірному [[Простір|просторі]]), [[многогранникбагатогранник]]а в тривимірному просторі, чи, взагалі, [[політоп]]а в ''n-''вимірному просторі для формування нової фігури. Починаючи з початкової фігури, процес розтягує певні елементи, такі як ребра чи [[Грань (геометрія)|грані]], зазвичай симетрично, поки вони перетнуться знову щоб замкнути межі нової фігури. Нова фігура називається ззірченням початкової фігури.
 
== Означення Кеплера ==
У 1619 році [[Кеплер]] визначив ззірчення многокутників і багатогранників, як процес продовження ребер чи граней аж до їхнього перетину і утворення нового многокутника чи багатогранника. 
 
Він ззірчив правильний [[додекаедр]] і отримав два правильні зіркові многогранникибагатогранники, малий ззірчений додекаедр і великий ззірчений додекаедр.
 
Він також ззірчив правильний [[октаедр]], щоб отримати ззірчений октагедрон, звичайне з'єднання двох тетраедрів.
Як і семикутник [[восьмикутник]] теж має два [[Октаграма|октаґраматичні]] ззірчення, одне, {8/3} є зірчастий многокутник, а інший, {8/2} є з'єднанням двох [[Квадрат|квадратів]].
 
== Ззірчення многогранниківбагатогранників ==
{| class="wikitable"
|[[Файл:First_stellation_of_octahedron.png|70x70пкс]]
|[[Файл:Seventeenth_stellation_of_icosahedron.png|70x70пкс]]
|}
МногогранникБагатогранник ззірчується продовженням ребер чи граней багатогранника, до їх перетину і утворення нового багатогранника або з'єднання. Внутрішність нового багатогранника, ділиться гранями на певне число комірок. Торцеві площини багатогранника можуть ділити простір на безліч таких комірок, і з продовженням ззірчення будуть відсікатися більше таких комірок. Для симетричних багатогранників, ці комірки поділяться на групи, або множини, конгруентних комірок - кажуть, що комірки в таких конгруентних множинах такого самого типу. Загальний метод знаходження ззірчень передбачає вибір одного чи кількох типів комірок.
 
Це може призвести до величезної кількості можливих форм, тому часто застосовують додаткові критерії для  зменшення множини значущих і унікальних ззірчень.
* '''Одновершинні сузір'ях.''' Дослівно "одно-пікові". Якщо у ззірченні є лиш один вид вістер, або вершин (тобто всі вершини подібні в межах однієї орбіти симетрії), вони називаються одновістряні або одновершинні. Всі такі ззірчення повністю витриманими.
* '''Основні ззірчення.''' Якщо багатогранник має площини дзеркальної симетрії, тоді кажуть, що ребра, що перетинають такі площини лежать на основних лініях. Якщо всі ребра лежать на основних лініях - ззірчення називають основним. Всі основні ззірчення повністю витримані.
* '''Ззірчення Міллера.''' У "П'ятдесят дев'ять ікосаедрів" [[Гарольд Коксетер|Кокстера]], Дю Валь, Флатер і Петрі запис п'ять правил, запропонованих Міллером. Хоч ці правила стосуються тільки ікосаедрової геометрії, вони пристосували їх для довільних многогранниківбагатогранників. Вони забезпечують, серед іншого, що обертальна симетрія вихідного багатогранника зберігається і що кожне ззірчення відрізняється своїм виглядом. Чотири типи щойно означених ззірчень є підкласами ззірчень Міллера.
Можна також визначити деякі інші категорії:
* '''Часткове ззірчення''', таке у якому не всі елементи даної вимірності продовжили.
* 187 ззірчень тріакісового тетраедра
* 358,833,097 ззірчень ромбічного триаконтагедрона
* 17 ззірчень [[Кубооктаедр|кубооктаедра]] (4 показані у [[Магнус Веннінґер|Веннінґерових]] "Моделях Многогранниківбагатогранників")
* Невідоме число ззірчень [[ікосододекаедр]]а; є 7071671 не хіральних  ззірчень, але число хіральних ззірчень невідоме (19 показані в Веннінґерових "Моделях Многогранниківбагатогранників")
Сімнадцять неопуклих рівномірних багатогранників є ззірченнями твердих Архімедових тіл.
 
У книзі ''П'ятдесят дев'ять ікосаедрів'', Ж. К. П. Міллер запропонував набір правил для визначення які ззірчені фігури слід вважати "справді значущими і окремими".
 
Ці правила були адаптовані для використання з ззірчень багатьох інших многогранниківбагатогранників. За правилами Міллера маємо:
* Не існує ззірчень [[Чотиригранник|тетраедра]], позаяк усі його грані суміжні
* Не існує ззірчень [[куб]]а, тому що несуміжні грані паралельні і, отже, не можуть бути продовжені настільки щоб перетнутись і утворити нові ребра
* Існує 1 ззірчення [[октаедр]]а, ззірчений октаедр
* Є 3 ззірчення [[додекаедр]]: в малий ззірчений додекаедр, [[великий додекаедр]] і великий ззірчений додекаедр, всі вони є многогранниками[[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранниками Кеплера-Пуансо]].
* Є 58 ззірчень [[Ікосаедр|ікосаедра]], в тому числі і [[великий ікосаедр]] (належить до багатогранників Кеплера-Пуансо) і друге і останнє ззірчення ікосаедра. 59-а модель в ''П'ятдесяти дев'яти ікосаедрах'' - це вихідний ікосаедр.
Багато "ззірчень Міллера" неможливо отримати безпосередньо за допомогою методу Кеплера. Наприклад, багато мають порожнисті центри, де вихідні грані й ребра основного багатогранника повністю відсутні: немає з чого ззірчувати. З іншого боку, метод Кеплера також утворює ззірчення, які заборонені правилами Міллера, оскільки їхні комірки з'єднані ребрами або вершинами, навіть якщо їх грані окремі многокутники. На цю невідповідність довший час не звертали уваги аж до статті Інчбальда (2002).
Поки альтернативний набір правил, який це враховує ще не були повністю розроблені. Найбільшого прогресу було досягнуто опираючись на те, що ззірчення - це обопільний або двоїстий процес гранулювання, причому видаляються частини багатогранника без утворення нових вершин. Для кожного ззірчення деякого багатогранника, існує [[Дуальність|подвійне]] гранулювання  подвійного багатогранника і навпаки. Вивчаючи гранулювання двоїстости, отримуємо знання про ззірчення оригіналу. Брідж знайшов нове ззірчення ікосаедра вивчаючи гранулювання його двоїстости, додекаедра.
 
Деякі многогранологибагатогранологи вважають, що ззірчення - це двосторонній процес, такий, що будь-які два багатогранники, що мають однакові площини граней є ззірченнями один одного. Це зрозуміло, якщо розробляти загальний алгоритм, що згодиться для використання в комп'ютерній програмі, проте щодо решти питань воно не має особливої практичної користі.
 
Багато прикладів ззірчень можна знайти у списку Веннінґерових моделей ззірчень.
 
== Ззірчення політопів ==
Процес ззірчення можна також застосовувати до багатовимірних многогранниківбагатогранників. Ззірчена діаграма n-багатогранника існує в (n-1)-вимірній [[Гіперплощина|гіперплощині]] даної грані.
 
Наприклад, в 4-вимірному просторі, покращена звеличена ззірчена 120-комірка є остаточним ззірченням правильного 4-політопа 120-комірника.
 
== Назви ззірчень ==
Першим систематичним йменуванням ззірчень многогранниківбагатогранників була система йменування [[Артур Келі|Келі]] зірчастих многогранниківбагатогранників (нині відомих як [[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранники Кеплера-Пуансо]]). Ця система була широко, проте не завжди систематично використовувана для інших многогранниківбагатогранників і вищих політопів.
 
[[Джон Конвей]] розробив термінологію для ззірчених [[Многокутник|багатокутників]], [[Многогранник|многогранниківбагатогранників]] і 4-політопів (Кокстер, 1974). У цій системі процес продовження ребер для створення нових фігур називається ''ззірченням'', а продовження граней називається ''покращенням, а ''розширенням комірок називається ''звеличенням ''(останнє не поширюється на багатогранники). Це дозволяє систематичне використання таких слів як "ззірчений", "покращений" і "звеличений" для розробки назв для отриманих фігур. Наприклад Конвей запропонував деякі незначні зміни імен багатогранників Кеплера-Пуансо.
 
== Ззірчення до нескінченности ==
Веннінґер помітив, що деякі многогранникибагатогранники, такі як куб, не мають ніяких скінченних ззірчень. Проте можна побудувати комірки ззірчення у вигляді призм, що тягнуться до нескінченності. Фігура, що складається з таких призм називається нескінченним ззірченням або ззірченням до нескінченности. Відповідно до більшости означень багатогранників, таке ззірчення не є многогранникомбагатогранником.
 
Веннінґерові фігури виявилися подвоєннями рівномірного гемібагатогранника, де "гемі" граней вторять вершинам до нескінченности.
 
== Від математики до мистецтва ==
[[Файл:Magnus_Wenninger_polyhedral_models.jpg|ліворуч|міні|[[Магнус Веннінґер]] з деякими зі своїх моделей ззірчень многогранниківбагатогранників в 2009 році]]
Поряд зі своїм внеском у математику, Магнус Веннінґер розглядається в контексті взаємозв'язку [[Математика та мистецтво|математики і мистецтва]] , як людина, що зробила "особливо гарні" моделі складних ззірчених многогранниківбагатогранників.<ref>{{Cite web|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art5|title=Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections|publisher=American Mathematical Society|accessdate=1 September 2015|last1=Malkevitch|first1=Joseph}}</ref>
[[Файл:Marble_floor_mosaic_Basilica_of_St_Mark_Vencice.jpg|міні|Мармурова підлога [[мозаїка]] на [[Паоло Учелло|Паоло Уччелло]], [[Собор Святого Марка|базиліка Святого Марка, Венеція]], ц. 1430]]
Італійський ренесансний художник [[Паоло Учелло|Паоло Уччелло]] створив мозаїчну підлогу, на якій зображено невеликий ззірчений додекаедр в [[Собор Святого Марка|Базиліці Св. Марка, Венеція]], ц. 1430. Зображення Учелло використали як символ [[Венеційський бієнале|Венеційського Бієнале]] в 1986 році на тему "Мистецтво і Наука".<ref name="Emmer2003">{{Cite book|url=http://books.google.com/books?id=EHRDnU29PO8C&pg=PA269|title=Mathematics and Culture I|last=Emmer|first=Michele|date=2 December 2003|publisher=Springer Science & Business Media|page=269|isbn=978-3-540-01770-7}}</ref> Те ж ззірчення є центральним у двох [[Літографія|літографіях]] [[Мауріц Корнеліс Ешер|Мауріца Ешера]]: К''онтраст (Порядок і Хаос)'', 1950, і Гравітація, 1952.<ref>{{Cite book|title=The Magic of M. C. Escher|year=2000|publisher=Harry N. Abrams, Inc.|isbn=0-810-96720-0|author=Locher, J. L.}}</ref>
* <span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Stellation">Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/Stellation.html "Stellation"], ''[[MathWorld]]''.</span>
* [http://www.steelpillow.com/polyhedra/icosa/ Stellating the Icosahedron and Facetting the Dodecahedron]
* [http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator] - Програмне забезпечення для вивчення багатогранників і друку мереж для їхнього виготовлення. Включає рівномірні многогранникибагатогранники, ззірчення, з'єднання, Джонсонові[[Правильногранний багатогранник|джонсонові тіла,]] тощо.
* [http://www.software3d.com/Enumerate.php Enumeration of stellations]
* [http://bulatov.org/polyhedra/stellation/ Vladimir Bulatov ''Polyhedra Stellation.'']