Відмінності між версіями «Загальна лінійна група»

== Формальне визначення ==
 
Загальною лінійною групою порядку ''<math>n</math>'' називається четвірка <math>\left(U_n(R), \cdot, {}^{-1}, I\right)</math>, де:
 
* ''<math>R</math>'' є [[асоціативність|асоціативним]] кільцем з одиницею,
* <math>U_n (R)</math> — оборотні матриці порядку ''<math>n</math>'' над даним кільцем,
* Груповою операцією є множення матриць,
* Зворотним елементом є [[обернена матриця]],
== Векторні простори ==
 
Якщо ''<math>V</math>'' — [[векторний простір]] над [[поле (алгебра)|полем]] ''<math>F</math>'', то загальною лінійною групою лінійного простру <math>\operatorname{GL}(V)</math> або <math>\operatorname{Aut}(V)</math> називається група всіх [[автоморфізм]]ів ''<math>V</math>'', тобто множина всіх [[бієкція|бієктивних]] [[лінійне відображення|лінійних відображень]] <math>V \to V</math> де груповою операцією є [[композиція функцій|композиція]] відображень .
 
Якщо простір ''V'' має скінченну розмірність <math>\dim V = n</math>, то <math>\operatorname{GL}(V)</math> і <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> [[ізоморфізм|ізоморфні]]. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів ''<math>V</math>''. Якщо <math>(e_1, \dots, e_n)</math> — базис, і автоморфізмів <math>\operatorname{GL}(V)</math>, маємо
 
Якщо простір ''V'' має скінченну розмірність <math>\dim V = n</math>, то <math>\operatorname{GL}(V)</math> і <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> [[ізоморфізм|ізоморфні]]. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів ''V''. Якщо <math>(e_1, \dots, e_n)</math> — базис, і автоморфізмів <math>\operatorname{GL}(V)</math>, маємо
:<math>Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j</math>
 
для деяких констант <math>a_{jk} \in K</math>. Матриця, відповідна ''Т<math>T</math>'' має елементами <math>a_{jk}</math>.
 
== Визначники ==
 
Матриця є оборотна над полем ''<math>F</math>'', якщо і тільки якщо її [[визначник]] відмінний від нуля. Таким чином, <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником.
Для кільця ''<math>R</math>'' маємо: матриця над ''<math>R</math>'' є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в ''<math>R</math>''. Отже, <math>\operatorname{GL}(n, R)</math> може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.
 
== Спеціальна лінійна група ==
 
[[Спеціальна лінійна група|Спеціальною лінійною групою]] порядку ''<math>n</math>'' над полем ''F'' називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку ''<math>n</math>'' з елементами поля ''<math>K</math>'', визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається <math>\operatorname{SL}(n, K)</math>.
 
=== Примітки ===
== Скінченні поля ==
 
Якщо ''<math>K</math>'' є скінченним полем з ''<math>q</math>'' елементами, іноді використовується запис <math>\operatorname{GL}(n, q)</math>.
 
=== Порядок ===
69

редагувань