Відмінності між версіями «Інтеграл Рімана»

вікіфікація
(вікіфікація)
</div>
 
{{definitionМатОзначення}} ''Діаметром'' (''розміром'', ''дрібністю'') ''розбиття'' &lambda; = {''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>,…, ''x''<sub>''n''</sub>} називається число |&lambda;| = max&nbsp;{&Delta;''x<sub>k</sub>'', 0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}.
</div>
 
{{definitionМатОзначення}} Величина
:<math>S(f, \, \lambda, \, \{c_i|\lambda\})=\sum_{k=1}^{n} f(c_{k}) \Delta x_{k},</math>
називається ''інтегральною сумою'' для функції ''f'' та точок {''c''<sub>''i''</sub> | &lambda;}, які відповідають розбиттю &lambda;.
== Означення інтеграла Рімана==
[[Файл:Integral_sum.pdf|thumb|upright=1.5|Чим дрібніший діаметр розбиття λ, тим ближче значення інтегральної суми до значення інтеграла Рімана]]
{{definitionМатОзначення|інтеграла Рімана}} Нехай функція ''f'' : [''a'',&nbsp;''b''] → ''R'' (''a'' < ''b'') та
* для довільного розбиття &lambda; відрізка [''a'', ''b''] та відповідного йому набору точок {''c''<sub>''i''</sub>&nbsp;|&nbsp;&lambda;} існує скінченна границя інтегральних сум ''S''(''f'',&nbsp;&lambda;,&nbsp;{''c''<sub>''i''</sub>&nbsp;|&nbsp;&lambda;}) при |&lambda;|&nbsp;→&nbsp;0,
* границя інтегральних сум ''S''(''f'',&nbsp;&lambda;,&nbsp;{''c''<sub>''i''</sub>&nbsp;|&nbsp;&lambda;}) не залежить від розбиття &lambda; і вибору точок ''c''<sub>''i''</sub>.
Нижня та верхня суми Дарбу́ для функції ''f''(''x'') та розбиття λ&nbsp;— це інтегральні суми, в яких відповідні точки {''c''<sub>''i''</sub>&nbsp;|&nbsp;&lambda;} обираються як точні нижня та верхня межі функції ''f''(''x'') відповідно.
 
{{definitionМатОзначення}} Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {''c''<sub>''i''</sub>&nbsp;|&nbsp;&lambda;} вибираються з умови ''c''<sub>''i''</sub> = inf<sub>[''x''<sub>''i''</sub>, ''x''<sub>''i''+1</sub>]</sub> ''f''(''x''), називається ''нижньою сумою Дарбу'' для функції ''f'' та розбиття λ і позначається одним із символів ''L''(''f'', λ) (від англ. ''lower''&nbsp;— «нижній») або ''s''(''f'', λ).
<!--
<math>
</div>
 
{{definitionМатОзначення}} Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {''c''<sub>''i''</sub>&nbsp;|&nbsp;&lambda;} вибираються з умови ''c''<sub>''i''</sub> = sup<sub>[''x''<sub>''i''</sub>, ''x''<sub>''i''+1</sub>]</sub> ''f''(''x''), називається ''верхньою сумою Дарбу'' для функції ''f'' та розбиття λ і позначається одним із символів ''U''(''f'', λ) (від англ. ''upper''&nbsp;— «верхній») або ''S''(''f'', λ).
</div>
 
<!-- це в цій статті не знадобилось
{{definitionМатОзначення}} ''Нижнім інтегралом Дарбу'' для функціїї ''f''(''x'') по відрізку [''a'',&nbsp;''b''] називається число
: <math> I_*(f) = \sup_{\lambda} s(f, \, \lambda),
</math>