Оператор набла у різних системах координат: відмінності між версіями

нема опису редагування
(Створити порожню сторінку)
Мітка: перше редагування
 
Немає опису редагування
== Загальний вираз ==
Загальний вираз для оператора ∇ у ловільній системі координат можна записати так:
 
<math> \nabla \circ\mathbf{A}=\sum_{m}i_m\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}=
i_1\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_1}+i_2
\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_2}+i_3\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_3}</math>,
 
де "<math> \circ</math>" - будь-який з трьох значків, що відповідають дії оператора ∇:
* " " - градиент;
* " · " - дивергенция;
* " × " - ротор.
Елементи <math> \partial r_m</math> у цьому записі відповідають елементам радіус-вектора у відповідній системі координат:
 
<math> d\mathbf{r}=\sum_{m}i_m\partial r_m=
i_1 \partial r_1+i_2 \partial r_2+i_3 \partial r_3</math>
 
Іншими словами, першою дією є взяття часткової похідної <math> {\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}</math> за проекцією радіус-вектора від <u>цілого вектора</u> <math> \mathbf{A}</math> (з урахуванням похідних орт у цій системі координат), і лише потім множення (просте для градієнту, скалярне для дивергенції та векторне для ротору) орта напрямку на <math> {\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}</math>.
 
При цьому достатньо знати вирази:
* у циліндричних координатах: <math> {\partial i_\rho \over \partial \varphi}=i_\varphi</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_\rho</math>;
* у сферичних координатах: <math> {\partial i_r \over \partial \theta}=i_\theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \theta}=-i_r</math>, <math> {\partial i_r \over \partial \varphi}=i_\varphi \sin \theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \varphi}=i_\varphi \cos \theta</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_r \sin \theta-i_\vartheta \cos \theta</math>.
Наприклад, у таблиці, наведеній у статті [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%BD%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B0_%D0%B2_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82] запис дивергенції у циліндричних координатах отримано наступним чином:
 
<math> \nabla \cdot\mathbf{A}=i_\rho\cdot {\partial \over \partial \rho}(i_\rho A_\rho
+i_\varphi A_\varphi+i_z A_z)+
{1 \over \rho}i_\varphi\cdot {\partial \over \partial \varphi}(i_\rho A_\rho
+i_\varphi A_\varphi+i_z A_z)+i_z\cdot {\partial \over \partial z}(i_\rho A_\rho
+i_\varphi A_\varphi+i_z A_z)=</math>
 
<math> ={\partial A_\rho\over \partial \rho}+
\biggl({1 \over \rho}i_\varphi\cdot {\partial i_\rho \over \partial \varphi} A_\rho\biggr)+
{1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}=
\biggl({\partial A_\rho\over \partial \rho}+{A_\rho\over \rho}\biggr)+
{1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}=</math>
 
<math> ={1 \over \rho}{\partial (\rho A_\rho)\over \partial \rho}+
{1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}</math>
9

редагувань