Рівняння Шредінгера — основне рівняння руху нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.

,

де  — хвильова функція,  — гамільтоніан. Уперше це рівняння було опубліковане Ервіном Шредінгером у 1926 році.

Для вільної частинки у координатному зображенні рівняння Шредінгера має вигляд

,

де - оператор Лапласа, а m - маса частинки, тобто є хвильовим рівнянням, розв'язками якого є хвилі із квадратичним законом дисперсії:

.

Отже, рівняння Шредінгера описує хвилі де Бройля, але водночас для частинки в зовнішньому потенціалі рівняння має розв'язки, локалізовані в просторі. Спектр таких розв'язків дискретний. Зокрема, рівняння Шредінгера розв'язується точно для частинки в кулонівському потенціалі, тобто відтворює енергетичний спектр атома водню.

Завдяки цій можливості опису різноманітних систем рівняння Шредінгера широко використовується для дослідження широкого спектру задач квантової фізики та квантової хімії.

Властивості

Внаслідок квантового принципу суперпозиції станів рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шредінгера є саме таким, тобто, якщо дві хвильові функції   та   задовольняють рівнянню Шредінгрера, то суперпозиція

 ,

з довільними комплексними коефіцієнтами a і b теж йому задовільняє.

Рівняння Шредінгера не інваріантне щодо перетворень Лоренца, тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за швидкість світла. Загальніше рівняння Дірака переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з магнітним полем (яке є чисто релятивістським явищем) у загальному випадку не можна використовувати звичайне рівняння Шредінгера, а потрібно враховувати релятивістські поправки, зокрема спін (дивіться рівняння Паулі).

Комплексно спряжене рівняння

 ,

збігається з рівнянням Шредінгера, якщо замінити t на −t, а хвильову функцію   на  . Цей факт відображає зворотність процесів у квантовій механіці.

У граничному випадку   рівняння Шредінгера зводиться до рівняння Гамільтона-Якобі класичної механіки, що означає сумісність квантового опису фізичної системи з класичним (дивіться Квазікласичне наближення).

Детермінізм

Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера із початковими умовами

 ,

де   — певне початкове значення хвильової функції.

Дана умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються квантовим детермінізмом.

В реальному експерименті приготувати квантовомеханічну систему у стані із відомою початковою хвильовою функцією буває важко. У випадку, коли це складно, використовується інший підхід (див. матриця густини).

Формальний розв'язок

Формальний розв'язок рівняння Шредінгера

 

Тут   є не числом, а оператором, який називають оператором еволюції.

Стаціонарне рівняння Шредінгера

Якщо гамільтоніан квантової системи не зажить від часу, рівняння Шредінгера можна розв'язати відносно часу методом розділення змінних і отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера

 ,

де E — певне дійсне число, яке інтерпретують, як енергію. Це рівняння є рівнням на власні значення. Розв'язуючи його знаходять енергетичний спектр квантової системи, тобто такі значення E, при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню   стаціонарного рівняння Шредінгера відповідає власна фукнція  .

Загальний розв'язок часового рівняння Шредінгера тоді записується у вигляді:

 ,

де   — комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.

У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з електромагнітною хвилею, перехід до стаціонарного рівняння Шредінгера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.

Див. також

Література

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.