Рівняння Шредінгера — основне рівняння руху нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.

,

де  — хвильова функція,  — гамільтоніан. Уперше це рівняння було опубліковане Ервіном Шредінгером у 1926 році.

Для вільної частинки у координатному зображенні рівняння Шредінгера має вигляд

,

де - оператор Лапласа, а m - маса частинки, тобто є хвильовим рівнянням, розв'язками якого є хвилі із квадратичним законом дисперсії:

.

Отже, рівняння Шредінгера описує хвилі де Бройля, але водночас для частинки в зовнішньому потенціалі рівняння має розв'язки, локалізовані в просторі. Спектр таких розв'язків дискретний. Зокрема, рівняння Шредінгера розв'язується точно для частинки в кулонівському потенціалі, тобто відтворює енергетичний спектр атома водню.

Властивості

Внаслідок квантового принципу суперпозиції станів рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шредінгера є саме таким, тобто, якщо дві хвильові функції   та   задовольняють рівнянню Шредінгрера, то суперпозиція

 ,

з довільними комплексними коефіцієнтами a і b теж йому задовільняє.

Рівняння Шредінгера не інваріантне щодо перетворень Лоренца, тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за швидкість світла. Загальніше рівняння Дірака переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з магнітним полем (яке є чисто релятивістським явищем) у загальному випадку не можна використовувати звичайне рівняння Шредінгера, а потрібно враховувати релятивістські поправки, зокрема спін (дивіться рівняння Паулі).

Комплексно спряжене рівняння

 ,

збігається з рівнянням Шредінгера, якщо замінити t на −t, а хвильову функцію   на  . Цей факт відображає зворотність процесів у квантовій механіці.

У граничному випадку   рівняння Шредінгера зводиться до рівняння Гамільтона-Якобі класичної механіки, що означає сумісність квантового опису фізичної системи з класичним (дивіться Квазікласичне наближення).

Детермінізм

Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера із початковими умовами

 ,

де   — певне початкове значення хвильової функції.

Дана умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються квантовим детермінізмом.

В реальному експерименті приготувати квантовомеханічну систему у стані із відомою початковою хвильовою функцією буває важко. У випадку, коли це складно, використовується інший підхід (див. матриця густини).

Формальний розв'язок

Формальний розв'язок рівняння Шредінгера

 

Тут   є не числом, а оператором, який називають оператором еволюції.

Стаціонарне рівняння Шредінгера

Якщо гамільтоніан квантової системи не зажить від часу, рівняння Шредінгера можна розв'язати відносно часу методом розділення змінних і отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера

 ,

де E — певне дійсне число, яке інтерпретують, як енергію. Це рівняння є рівнням на власні значення. Розв'язуючи його знаходять енергетичний спектр квантової системи, тобто такі значення E, при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню   стаціонарного рівняння Шредінгера відповідає власна фукнція  .

Загальний розв'язок часового рівняння Шредінгера тоді записується у вигляді:

 ,

де   — комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.

У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з електромагнітною хвилею, перехід до стаціонарного рівняння Шредінгера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.

Див. також

Література

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.