Розподіл Фішера: відмінності між версіями

[неперевірена версія][неперевірена версія]
Немає опису редагування
 
(Не показані 36 проміжних версій 15 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
{{Розподіл ймовірностей |
{{Розподіл ймовірностей
name =Розподіл Фішера|
| name =Розподіл Фішера
type =density|
| type =density
pdf_image =[[Image:F distributionPDF.png|325px]]|
| pdf_image =[[Файл:F-distribution pdf.svg|325px]]
cdf_image =[[Image:F distributionCDF.png|325px]]|
| cdf_image =[[Файл:F distributionCDF.png|325px]]
parameters =<math>d_1>0,\ d_2>0</math> ступені свободи|
| parameters =<math>d_1>0,\ d_2>0</math> ступені свободи
support =<math>x \in [0, +\infty)\!</math>|
| support =<math>x \in [0, +\infty)\!</math>
pdf =<math>\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
| pdf =<math>\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!</math>|
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!</math>
cdf =<math>I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!</math>|
| cdf =<math>I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!</math>
mean =<math>\frac{d_2}{d_2-2}\!</math> for <math>d_2 > 2</math>|
| mean =<math>\frac{d_2}{d_2-2}\!</math> для <math>d_2 > 2</math>
median =|
| median =
mode =<math>\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!</math> для <math>d_1 > 2</math>|
| mode =<math>\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!</math> для <math>d_1 > 2</math>
variance =<math>\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math> для <math>d_2 > 4</math>|
| variance =<math>\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math> для <math>d_2 > 4</math>
skewness =<math>\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!</math><br /> для <math>d_2 > 6</math>|
| skewness =<math>\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!</math><br /> для <math>d_2 > 6</math>
kurtosis =''дивись текст''|
| kurtosis =''див. текст''
entropy =|
| entropy =
mgf =''не існує, моменти визначаються іншим способом<ref name=johnson />''|
| mgf =''не існує, raw moments defined elsewhere<ref name=johnson>{{cite book
| last = Johnson
char =''дивись текст''|
}}
'''Розподіл Фішера''' у теорії [[ймовірність|імовірностей]]&nbsp;— двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів<ref name=johnson>{{cite book | last = Johnson
| first = Norman Lloyd
| first = Norman Lloyd
| coauthors = Samuel Kotz, N. Balakrishnan
| coauthors = Samuel Kotz, N. Balakrishnan
Рядок 27: Рядок 25:
| year = 1995
| year = 1995
| isbn = 0-471-58494-0
| isbn = 0-471-58494-0
}}{{Ref-en}}</ref>.
}}{{Ref-en}} </ref><ref name=abramowitz>{{citation
| editor1-first=Milton
| editor1-last= Abramowitz
| editor2-first= Irene A.
| editor2-last=Stegun
| author={{{author|}}}
| title= [[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
| location=New York
| publisher=Dover
| year=1965
| ISBN=978-0486612720
|id={{MR|0167642}}
|contribution=Chapter {{{1|}}}
|pages={{{2|}}}
|contribution-url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_{{{2|}}}.htm}}{{#if:{{{3|}}}|  See also [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_{{{4}}}.htm chapter {{{3|}}}]|
}} {{Ref-en}} </ref>''
| char =''див. текст''
|}}
'''Розподіл Фішера''' або '''F-розподіл''' у [[теорія ймовірностей|теорії імовірностей]]&nbsp;— двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли [[нульова гіпотеза]] вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. [[F-тест]]).


== Визначення ==
== Визначення ==


Нехай <math>Y_1,Y_2</math>&nbsp;— дві незалежні випадкові величини, що мають [[розподіл хі-квадрат]]: <math>Y_i \sim \chi^2(d_i)</math>, де <math>d_i \in \mathbb{N},\; i=1,2</math>. Тоді [[розподіл]] випадкової величини
Нехай <math>Y_1,Y_2</math>&nbsp;— дві [[Незалежність (імовірність)|незалежні випадкові величини]], що мають [[розподіл хі-квадрат]]: <math>Y_i \sim \chi^2(d_i)</math>, де <math>d_i \in \mathbb{N},\; i=1,2</math>. Тоді [[розподіл]] випадкової величини
: <math>F = \frac{Y_1/d_1}{Y_2/d_2}</math>,
: <math>F = \frac{Y_1/d_1}{Y_2/d_2}</math>,
називається розподілом Фішера зі ступенями свободи <math>d_1</math> і <math>d_2</math>. Пишуть <math>F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>.
називається розподілом Фішера зі ступенями свободи <math>d_1</math> і <math>d_2</math>. Пишуть <math>F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>.

[[Щільність]] [[випадкова величина|випадкової величини]] з F-розподілом з параметрами <math>d_1, d_2\ (F(d_1, d_2))</math> задається формулою:
:<math>f(x) = \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}
=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}
\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}}
x^{\frac{d_1}{2} - 1}
\left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}}
\!</math>

для [[Дійсні числа|дійсного числа]] <math>x\ge 0</math>, тут ''d''<sub>1</sub> та ''d''<sub>2</sub> [[Натуральні числа|цілі додатні числа]], а B — [[Бета-функція]].
<!--
The [[cumulative distribution function]] is <math>F(x)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2) </math>

де ''I'' — [[regularized incomplete beta function]].
-->


== Моменти ==
== Моменти ==


Математичне чекання і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:
Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:
: <math>\mathbb{M}[F] = \frac{d_2}{d_2 - 2}</math>, якщо <math>d_2 > 2</math>,
: <math>\mathbb{M}[F] = \frac{d_2}{d_2 - 2}</math>, якщо <math>d_2 > 2</math>,
: <math>\mathrm{D}[F] = \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math>, якщо <math>d_2 > 4</math>.
: <math>\mathrm{D}[F] = \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math>, якщо <math>d_2 > 4</math>.
Рядок 43: Рядок 76:
== Властивості розподілу Фішера ==
== Властивості розподілу Фішера ==


* Якщо <math>F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, те
* Якщо <math>F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, то
: <math>\frac{1}{F} \sim \mathrm{F}(d_2, d_1)</math>.
: <math>\frac{1}{F} \sim \mathrm{F}(d_2, d_1)</math>.
* Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо <math>F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, те
* Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо <math>F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, то
: <math>F_{d_1,d_2} \to \delta(x-1)</math> по розподілі при <math>d_1,d_2 \to \infty</math>,
: <math>F_{d_1,d_2} \to \delta(x-1)</math> по розподілі при <math>d_1,d_2 \to \infty</math>,
де <math>\delta(x-1)</math>&nbsp;— дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи <math>X \equiv 1</math>.
де <math>\delta(x-1)</math>&nbsp;— дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи <math>X \equiv 1</math>.


== Зв'язок з іншими розподілами ==
=== Зв'язок з іншими розподілами ===


* Якщо <math>F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, те випадкові величини <math>d_1 F_{d_1,d_2}</math> збінаються по розподілу до <math>\chi^2(d_1)</math> при <math>d_2 \to \infty</math>.
* Якщо <math>F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, то випадкові величини <math>d_1 F_{d_1,d_2}</math> збігаються по розподілу до <math>\chi^2(d_1)</math> при <math>d_2 \to \infty</math>.

== Дивіться також ==
== Див. також ==
* [[Розподіл хі-квадрат]]
* [[Розподіл хі-квадрат]]
{{Список розподілів ймовірності}}
== Джерела ==
== Джерела ==
{{Reflist}}
{{reflist}}
* Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0

{{Список розподілів ймовірності}}
[[Категорія:Теорія ймовірностей]]


[[Категорія:Неперервні розподіли|Фішера]]
[[cs:Fischerovo-Snedecorovo rozdělení]]
[[Категорія:Дисперсійний аналіз]]
[[de:F-Verteilung]]
[[en:F-distribution]]
[[es:Distribución F]]
[[fa:توزیع اف]]
[[fi:F-jakauma]]
[[fr:Loi de Fisher]]
[[id:Distribusi F]]
[[it:Distribuzione di Fisher-Snedecor]]
[[ja:F分布]]
[[ko:F 분포]]
[[nl:F-verdeling]]
[[pl:Rozkład F Snedecora]]
[[pt:Distribuição F de Fisher-Snedecor]]
[[ru:Распределение Фишера]]
[[sl:Fisherjeva porazdelitev]]
[[su:Sebaran-F]]
[[tr:F-dağılımı]]
[[zh:F-分布]]

Поточна версія на 10:11, 24 червня 2018

Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест).

Розподіл Фішера
F-distribution pdf.svg
Функція розподілу ймовірностей
F distributionCDF.png
Параметри ступені свободи
Носій функції
Розподіл імовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє для
Мода для
Дисперсія для
Коефіцієнт асиметрії
для
Коефіцієнт ексцесу див. текст
Твірна функція моментів (mgf) не існує, raw moments defined elsewhere[1][2]
Характеристична функція див. текст

ВизначенняРедагувати

Нехай   — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат:  , де  . Тоді розподіл випадкової величини

 ,

називається розподілом Фішера зі ступенями свободи   і  . Пишуть  .

Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами   задається формулою:

 

для дійсного числа  , тут d1 та d2 цілі додатні числа, а B — Бета-функція.

МоментиРедагувати

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:

 , якщо  ,
 , якщо  .

Властивості розподілу ФішераРедагувати

  • Якщо  , то
 .
  • Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо  , то
  по розподілі при  ,

де   — дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи  .

Зв'язок з іншими розподіламиРедагувати

  • Якщо  , то випадкові величини   збігаються по розподілу до   при  .

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  1. Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0. (англ.)
  2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ред. (1965). Chapter. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 978-0486612720. MR0167642.  (англ.)
  • Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0