Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Фішера

{{Розподіл ймовірностей 
|  name       =Розподіл Фішера
|  type       =density
|  pdf_image  =[[Image:F distributionPDF.png|325px]]
|  cdf_image  =[[Image:F distributionCDF.png|325px]]
|  parameters =<math>d_1>0,\ d_2>0</math> ступені свободи
|  support    =<math>x \in [0, +\infty)\!</math>
|  pdf        =<math>\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!</math>
|  cdf        =<math>I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!</math>
|  mean       =<math>\frac{d_2}{d_2-2}\!</math> для <math>d_2 > 2</math>
|  median     =
|  mode       =<math>\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!</math> для <math>d_1 > 2</math>
|  variance   =<math>\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math> для <math>d_2 > 4</math>
|  skewness   =<math>\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!</math><br /> для <math>d_2 > 6</math>
|  kurtosis   =''див. текст''
|  entropy    =
|  mgf        =''не існує, raw moments defined elsewhere<ref name=johnson>{{cite book
  | last = Johnson
  | first = Norman Lloyd
  | coauthors = Samuel Kotz, N. Balakrishnan
  | title = Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27)
  | publisher = Wiley
  | year = 1995
  | isbn = 0-471-58494-0
}}{{Ref-en}} </ref><ref name=abramowitz>{{citation 
| editor1-first=Milton
| editor1-last= Abramowitz
| editor2-first= Irene A. 
| editor2-last=Stegun 
| author={{{author|}}}
| title= [[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
| location=New York 
| publisher=Dover
| year=1965 
|  ISBN=978-0486612720
|id={{MR|0167642}}
|contribution=Chapter {{{1|}}} 
|pages={{{2|}}} 
|contribution-url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_{{{2|}}}.htm}}{{#if:{{{3|}}}| &ensp;See also [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_{{{4}}}.htm chapter {{{3|}}}]|
}} {{Ref-en}} </ref>''
|  char       =''див. текст''
|}}
'''Розподіл Фішера''' або '''F-розподіл''' у [[теорія ймовірностей|теорії імовірностей]]&nbsp;— двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли [[Нульова гіпотеза|нульова гіпотеза]] вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. [[F-тест]]).

== Визначення ==

Нехай <math>Y_1,Y_2</math>&nbsp;— дві [[Незалежність (імовірність)|незалежні випадкові величини]], що мають [[розподіл хі-квадрат]]: <math>Y_i \sim \chi^2(d_i)</math>, де <math>d_i \in \mathbb{N},\; i=1,2</math>. Тоді [[розподіл]] випадкової величини
: <math>F = \frac{Y_1/d_1}{Y_2/d_2}</math>,
називається розподілом Фішера зі ступенями свободи <math>d_1</math> і <math>d_2</math>. Пишуть <math>F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>.

[[Щільність]] [[випадкова величина|випадкової величини]] з F-розподілом з параметрами <math>d_1, d_2\  (F(d_1, d_2))</math> задається формулою:
:<math>f(x) = \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}
=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}
\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}}
x^{\frac{d_1}{2} - 1}
\left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}}
\!</math>

для [[Дійсні числа|дійсного числа]] <math>x\ge 0</math>, тут ''d''<sub>1</sub> та ''d''<sub>2</sub> [[Натуральні числа|цілі додатні числа]], а B — [[Бета функція]].
<!--
The [[cumulative distribution function]] is <math>F(x)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2) </math>

дe ''I'' — [[regularized incomplete beta function]].
-->

== Моменти ==

Математичне чекання і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:
: <math>\mathbb{M}[F] = \frac{d_2}{d_2 - 2}</math>, якщо <math>d_2 > 2</math>,
: <math>\mathrm{D}[F] = \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math>, якщо <math>d_2 > 4</math>.

== Властивості розподілу Фішера ==

* Якщо <math>F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, те
: <math>\frac{1}{F} \sim \mathrm{F}(d_2, d_1)</math>.
* Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо <math>F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, те
: <math>F_{d_1,d_2} \to \delta(x-1)</math> по розподілі при <math>d_1,d_2 \to \infty</math>,
де <math>\delta(x-1)</math>&nbsp;— дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи <math>X \equiv 1</math>.

=== Зв'язок з іншими розподілами ===

* Якщо <math>F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>, те випадкові величини <math>d_1 F_{d_1,d_2}</math> збінаються по розподілу до <math>\chi^2(d_1)</math> при <math>d_2 \to \infty</math>.

== Див. також ==
* [[Розподіл хі-квадрат]]
== Джерела==
{{reflist}}
{{Список розподілів ймовірності}}


[[Категорія:Теорія ймовірностей]]

[[ca:Distribució F]]
[[de:F-Verteilung]]
[[en:F-distribution]]
[[es:Distribución F]]
[[fa:توزیع اف]]
[[fi:F-jakauma]]
[[fr:Loi de Fisher]]
[[id:Distribusi F]]
[[it:Distribuzione di Fisher-Snedecor]]
[[ja:F分布]]
[[ko:F 분포]]
[[nl:F-verdeling]]
[[pl:Rozkład F Snedecora]]
[[pt:Distribuição F de Fisher-Snedecor]]
[[ru:Распределение Фишера]]
[[sk:Fisherovo – Snedecorovo rozdelenie]]
[[sl:Fisherjeva porazdelitev]]
[[su:Sebaran-F]]
[[tr:F-dağılımı]]
[[zh:F-分布]]