Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Максвелла — Больцмана

'''Розпо́діл Ма́ксвелла-Бо́льцмана''' визначає ймовірність того, що частинка [[ідеальний газ|ідеального газу]] перебуває в стані з певною [[енергія|енергією]].

Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією <math> \varepsilon_k </math> згідно з розподілом Больцмана визначається
формулою:
: <math> n_k = e^{(\mu-\varepsilon_k)/k_B T}</math>,

де &mu;&nbsp;— [[хімічний потенціал]], T&nbsp;— [[температура]], k<sub>B</sub>&nbsp;— [[стала Больцмана]].

Хімічний потенціал &mu; визначається з умови
: <math> \sum_k n_k = 1, </math>

де N&nbsp;— число частинок.

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли <math> n_k \ll 1 </math>. Ця умова реалізується при високих температурах.

== Граничний випадок квантовомеханічних розподілів ==

В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як [[Статистика Фермі-Дірака|розподіл Фермі-Дірака]] так і розподіл [[Статистика Бозе-Ейнштейна|розподіл Бозе-Ейнштейна]] переходять в розподіл Больцмана.

== Розподіл Больцмана в класичній статистиці ==

В класичній статистиці частка ідеального газу має лише [[кінетична енергія|кінетичну енергію]].

Число часток з [[імпульс]]ами в проміжку <math> (\mathbf{p}, \mathbf{p} + d\mathbf{p}) </math> визначається формулою:
: <math> dn_{\mathbf{p}} = \frac{N}{V(2\pi mk_BT)^{3/2}} e^{-p^2/2mk_BT} dp_xdp_ydp_z </math>,

де m&nbsp;— маса частки.

У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву '''розподілу Максвелла'''
: <math> dn_{\mathbf{v}} = \frac{N}{V} \left( \frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2} e^{-mv^2/2k_BT} dv_xdv_ydv_z </math>.

== Розподіл Больцмана в зовнішньому потенціальному полі ==

У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом <math>U(\mathbf{r})</math>, це збільшує їхню
енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:
: <math> n(\mathbf{r}) = n_0 e^{-U(\mathbf{r})/k_BT} </math>.

Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає [[барометрична формула|барометричну формулу]]
: <math> n(z) = n_0e^{-mgz/k_BT} </math>.

Аналогічні формули справедливі для розподілу густини [[носії заряду|носіїв заряду]] ([[електрон]]ів чи [[дірка (квазічастинка)|дірок]]) у [[електричне поле|електричному полі]] в [[напівпровідник]]ових приладах.

== Див. також ==

* [[Статистика Фермі-Дірака]]
* [[Статистика Бозе-Ейнштейна]]
* [[Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями]]

== Джерела ==

* {{cite book
|автор=[[Ландау Лев Давидович|Ландау Л.Д.]], Лившиц Е.М. 
|назва=Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1.
|дата=
|мова = російська
|рік=1976
|видавництво=Наука. 
|знаходження=Москва}}

[[Категорія:Молекулярна фізика]]
[[Категорія:Статистична фізика]]
[[Категорія:Ймовірнісні розподіли]]
[[Категорія:Ідеальний газ]]

[[ar:توزيع ماكسويل-بولتزمان]]
[[cs:Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení]]
[[de:Maxwell-Boltzmann-Verteilung]]
[[en:Maxwell–Boltzmann distribution]]
[[fi:Maxwellin–Boltzmannin jakauma]]
[[he:התפלגות מקסוול בולצמן]]
[[it:Distribuzione di Maxwell-Boltzmann]]
[[ja:マクスウェル分布]]
[[ko:맥스웰-볼츠만 분포]]
[[nl:Maxwell-Boltzmann-verdeling]]
[[no:Maxwell-Boltzmanns fordelingslov]]
[[pl:Rozkład Maxwella]]
[[pt:Distribuição de Maxwell-Boltzmann]]
[[ru:Распределение Максвелла]]
[[sk:Maxwellovo-Boltzmanovo rozdelenie]]
[[sl:Boltzmannova porazdelitev]]
[[sv:Maxwell–Boltzmannfördelning]]
[[zh:麦克斯韦-玻尔兹曼分布]]