Проєктивна площина: відмінності між версіями

[неперевірена версія][неперевірена версія]
 
(Не показано 3 проміжні версії 2 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
[[File:Railroad-Tracks-Perspective.jpg|thumb|right|Ці паралельні прямі візуально перетинаються у деякій [[Зникома точка|зникомій точці]] "в безмежності". В проективній площині це фактично є правдивим.]]
[[File:Railroad-Tracks-Perspective.jpg|thumb|right|Ці паралельні прямі візуально перетинаються у деякій [[Зникома точка|зникомій точці]] "в нескінченності". В проєктивній площині це фактично є правдою.]]
В [[Математика|математиці]], '''проективна площина''' це геометрична структура, яка розширює поняття [[Площина|площини]]. На звичайній Евклідовий площині, дві прямі перетинаються в одній точці, але є деякі пари прямих (названі, паралельними прямими), які не перетинаються. Проективну площину можна розглядати як звичайну площину, яка має додаткові "точки на нескінченності" в яких паралельні прямі перетинаються. Таким чином ''будь-які'' дві різні прямі в проективній площині перетинаються в одній і лише одній точці.
В [[Математика|математиці]], '''проєктивна площина''' це геометрична структура, яка розширює поняття [[Площина|площини]]. На звичайній Евклідовий площині, дві прямі перетинаються в одній точці, але є деякі пари прямих (названі, паралельними прямими), які не перетинаються. Проєктивну площину можна розглядати як звичайну площину, яка має додаткові "точки на нескінченності" в яких паралельні прямі перетинаються. Таким чином ''будь-які'' дві різні прямі в проєктивній площині перетинаються в одній і лише одній точці.


Художники [[Аксонометрія#Відродження: Основи математики|ренесансу]], розвиваючи техніку малювання в [[Аксонометрія|перспективі]], заклали основу цій математичної тематики. Архітипним прикладом є {{нп|Дійсна проективна площина|дійсна проективна площина|en|real projective plane}}, також відома як '''розширена Евклідова площина'''.<ref>The phrases "projective plane", "extended affine plane" and "extended Euclidean plane" may be distinguished according to whether the line at infinity is regarded as special (in the so-called "projective" plane it isn't, in the "extended" planes it is) and to whether Euclidean metric is regarded as meaningful (in the projective and affine planes it isn't). Similarly for projective or extended spaces of other dimensions.</ref> Цей приклад, в дещо іншому вигляді, є важливим поняттям в [[Алгебрична геометрія|алгебраїчній геометрії]], [[Топологія|топології]] і [[Проективна геометрія|проективній геометрії]] де вона може позначатися по різному {{nowrap|PG(2, '''R''')}}, '''RP'''<sup>2</sup>, або '''P'''<sub>2</sub>('''R''') та ін.. Існує багато інших проективних площин, як приклад, нескінченна [[комплексна проективна площина]], і скінченна, [[площина Фано]].
Художники [[Аксонометрія#Відродження: Основи математики|ренесансу]], розвиваючи техніку малювання в [[Аксонометрія|перспективі]], заклали основу цій математичної тематики. Архетипним прикладом є {{нп|Дійсна проєктивна площина|дійсна проєктивна площина|en|real projective plane}}, також відома як '''розширена Евклідова площина'''.<ref>The phrases "projective plane", "extended affine plane" and "extended Euclidean plane" may be distinguished according to whether the line at infinity is regarded as special (in the so-called "projective" plane it isn't, in the "extended" planes it is) and to whether Euclidean metric is regarded as meaningful (in the projective and affine planes it isn't). Similarly for projective or extended spaces of other dimensions.</ref> Цей приклад, в дещо іншому вигляді, є важливим поняттям в [[Алгебрична геометрія|алгебраїчній геометрії]], [[Топологія|топології]] і [[Проєктивна геометрія|проєктивній геометрії]] де вона може позначатися по різному {{nowrap|PG(2, '''R''')}}, '''RP'''<sup>2</sup>, або '''P'''<sub>2</sub>('''R''') та ін. Існує багато інших проєктивних площин, як приклад, нескінченна [[комплексна проєктивна площина]], і скінченна, [[площина Фано]].


Проективна площина є двовимірним [[Проективний простір|проективним простором]], але не всі проективні площини можуть вбудовуватися в тривимірний простір (див. [[Теорема Дезарга]]).
Проєктивна площина є двовимірним [[Проєктивний простір|проєктивним простором]], але не всі проєктивні площини можуть вбудовуватися в тривимірний простір (див. [[Теорема Дезарга]]).


==Визначення==
==Визначення==


'''Проективна площина''' складається з набору '''прямих''', набору '''точок''', і зв'язків між прямими і точками, які називаються '''спадання''' (інцидентом), які мають наступні властивості:
'''Проєктивна площина''' складається з набору '''прямих''', набору '''точок''', і зв'язків між прямими і точками, які називаються '''спадання''' (інцидентом), які мають наступні властивості:
<div id="axioms-of-projective-planes">
<div id="axioms-of-projective-planes">
#Для даних двох різних точок, є лише одна пряма яка проходить через обидві з них.
#Для даних двох різних точок, є лише одна пряма яка проходить через обидві з них.
Рядок 15: Рядок 15:
</div>
</div>
Друга умова означає, що не існує [[Паралельні прямі|паралельних прямих]]. Остання умова виключає так звані '''''вироджені''''' випадки. Термін "інцидент" (спадання) використовується аби підкреслити симетричну природу зв'язків між точками і прямими. Таким чином вислів "точка ''P'' є інцидентною з прямою ''l'' " "точка ''P'' є спадною прямої ''l'' " використовується замість вислову "''P'' знаходиться на ''l'' " або "''l'' проходить крізь ''P'' ".
Друга умова означає, що не існує [[Паралельні прямі|паралельних прямих]]. Остання умова виключає так звані '''''вироджені''''' випадки. Термін "інцидент" (спадання) використовується аби підкреслити симетричну природу зв'язків між точками і прямими. Таким чином вислів "точка ''P'' є інцидентною з прямою ''l'' " "точка ''P'' є спадною прямої ''l'' " використовується замість вислову "''P'' знаходиться на ''l'' " або "''l'' проходить крізь ''P'' ".

== Див. також ==
* [[Проєктивно розширена числова пряма]]


== Примітки ==
== Примітки ==
{{reflist}}
{{reflist}}


[[Категорія:Проективна геометрія]]
[[Категорія:Проєктивна геометрія]]
[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Алгебрична геометрія]]
[[Категорія:Алгебрична геометрія]]

Поточна версія на 20:17, 13 травня 2021

В математиці, проєктивна площина це геометрична структура, яка розширює поняття площини. На звичайній Евклідовий площині, дві прямі перетинаються в одній точці, але є деякі пари прямих (названі, паралельними прямими), які не перетинаються. Проєктивну площину можна розглядати як звичайну площину, яка має додаткові "точки на нескінченності" в яких паралельні прямі перетинаються. Таким чином будь-які дві різні прямі в проєктивній площині перетинаються в одній і лише одній точці.

Ці паралельні прямі візуально перетинаються у деякій зникомій точці "в нескінченності". В проєктивній площині це фактично є правдою.

Художники ренесансу, розвиваючи техніку малювання в перспективі, заклали основу цій математичної тематики. Архетипним прикладом є дійсна проєктивна площина[en], також відома як розширена Евклідова площина.[1] Цей приклад, в дещо іншому вигляді, є важливим поняттям в алгебраїчній геометрії, топології і проєктивній геометрії де вона може позначатися по різному PG(2, R), RP2, або P2(R) та ін. Існує багато інших проєктивних площин, як приклад, нескінченна комплексна проєктивна площина, і скінченна, площина Фано.

Проєктивна площина є двовимірним проєктивним простором, але не всі проєктивні площини можуть вбудовуватися в тривимірний простір (див. Теорема Дезарга).

ВизначенняРедагувати

Проєктивна площина складається з набору прямих, набору точок, і зв'язків між прямими і точками, які називаються спадання (інцидентом), які мають наступні властивості:

  1. Для даних двох різних точок, є лише одна пряма яка проходить через обидві з них.
  2. Для даних двох різних прямих, існує лише одна точка що належить їм обом.
  3. Існує чотири таких точки, що не існує прямих які перетинаються із більше ніж двома з них.

Друга умова означає, що не існує паралельних прямих. Остання умова виключає так звані вироджені випадки. Термін "інцидент" (спадання) використовується аби підкреслити симетричну природу зв'язків між точками і прямими. Таким чином вислів "точка P є інцидентною з прямою l " "точка P є спадною прямої l " використовується замість вислову "P знаходиться на l " або "l проходить крізь P ".

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. The phrases "projective plane", "extended affine plane" and "extended Euclidean plane" may be distinguished according to whether the line at infinity is regarded as special (in the so-called "projective" plane it isn't, in the "extended" planes it is) and to whether Euclidean metric is regarded as meaningful (in the projective and affine planes it isn't). Similarly for projective or extended spaces of other dimensions.