Перегляд вихідного коду сторінки Проєктивна площина

[[File:Railroad-Tracks-Perspective.jpg|thumb|right|Ці паралельні прямі візуально перетинаються у деякій [[Зникома точка|зникомій точці]] "в нескінченності". В проєктивній площині це фактично є правдою.]]
В [[Математика|математиці]], '''проєктивна площина''' це геометрична структура, яка розширює поняття [[Площина|площини]]. На звичайній Евклідовий площині, дві прямі перетинаються в одній точці, але є деякі пари прямих (названі, паралельними прямими), які не перетинаються. Проєктивну площину можна розглядати як звичайну площину, яка має додаткові "точки на нескінченності" в яких паралельні прямі перетинаються. Таким чином ''будь-які'' дві різні прямі в проєктивній площині перетинаються в одній і лише одній точці.

Художники [[Аксонометрія#Відродження: Основи математики|ренесансу]], розвиваючи техніку малювання в [[Аксонометрія|перспективі]], заклали основу цій математичної тематики. Архетипним прикладом є {{нп|Дійсна проєктивна площина|дійсна проєктивна площина|en|real projective plane}}, також відома як '''розширена Евклідова площина'''.<ref>The phrases "projective plane", "extended affine plane" and "extended Euclidean plane" may be distinguished according to whether the line at infinity is regarded as special (in the so-called "projective" plane it isn't, in the "extended" planes it is) and to whether Euclidean metric is regarded as meaningful (in the projective and affine planes it isn't). Similarly for projective or extended spaces of other dimensions.</ref> Цей приклад, в дещо іншому вигляді, є важливим поняттям в [[Алгебрична геометрія|алгебраїчній геометрії]], [[Топологія|топології]] і [[Проєктивна геометрія|проєктивній геометрії]] де вона може позначатися по різному {{nowrap|PG(2, '''R''')}},  '''RP'''<sup>2</sup>, або '''P'''<sub>2</sub>('''R''') та ін. Існує багато інших проєктивних площин, як приклад, нескінченна [[комплексна проєктивна площина]], і скінченна, [[площина Фано]].

Проєктивна площина є двовимірним [[Проєктивний простір|проєктивним простором]], але не всі проєктивні площини можуть вбудовуватися в тривимірний простір (див. [[Теорема Дезарга]]).

==Визначення==

'''Проєктивна площина''' складається з набору '''прямих''', набору '''точок''', і зв'язків між прямими і точками, які називаються '''спадання''' (інцидентом), які мають наступні властивості:
<div id="axioms-of-projective-planes">
#Для даних двох різних точок, є лише одна пряма яка проходить через обидві з них.
#Для даних двох різних прямих, існує лише одна точка що належить їм обом.
#Існує чотири таких точки, що не існує прямих які перетинаються із більше ніж двома з них.
</div>
Друга умова означає, що не існує [[Паралельні прямі|паралельних прямих]]. Остання умова виключає випадки так званої '''''вироджені''''' випадки. Термін "інцидент" (спадання) використовується аби підкреслити симетричну природу зв'язків між точками і прямими. Таким чином вислів "точка  ''P'' є інцидентною з прямою ''l'' " "точка  ''P'' є спадною прямої ''l'' " використовується замість вислову "''P'' знаходиться на ''l'' " або "''l'' проходить крізь ''P'' ".

== Див. також ==
* [[Проєктивно розширена числова пряма]]

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Проєктивна геометрія]]
[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Алгебрична геометрія]]