Відкрити головне меню

Простір топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності. Іноді простори, що задовольняють цій умові також називаються просторами Фреше, але цей термін також використовується в інших значеннях.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Топологічний простір   називається простором  , якщо для будь-яких двох різних точок   існує відкрита множина  , така що   але  .

Еквівалентно можна дати інші визначення, які разом дають основні властивості просторів:

  • Простір   є простором   тоді і тільки тоді, коли кожна одноточкова підмножина в   є замкнутою.
  • Простір   є простором   тоді і тільки тоді, коли кожна його скінченна підмножина є замкнутою.
  • Простір   є простором   тоді і тільки тоді, коли кожна його коскінченна підмножина (доповнення до скінченної підмножини) є відкритою.
  • Простір   є простором   тоді і тільки тоді, коли кожна його підмножина рівна перетину всіх відкритих підмножин, що її містять.
  • Простір   є простором   тоді і тільки тоді, коли для кожної його підмножини S і кожної точки  , x є граничною точкою множини S якщо і тільки якщо довільний відкритий окіл точки x містить нескінченну кількість точок з множини S.

Приклади і властивостіРедагувати

  • Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами   і простори, що не є   вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів   є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором  ; навпаки, кожен скінченний простір   є дискретним.
  • Кожен гаусдорфів простір є простором  .
  • Прикладом простору, що задовольняє аксіому  , але не є гаусдорфовим є множина дійсних чисел з топологією де відкритими множинами є доповнення скінченних множин, а також   і весь простір. Іншими важливими прикладами є топологія Зариського для алгебричних многовидів над алгебрично замкнутим полем, а також кокомпактна топологія на множині дійсних чисел.
  • Кожен простір   є простором Т0 , проте є простори  , які не є просторами  . Наприклад, множина   з топологією   є простором  , але не  . Іншим таким прикладом є топологія перекривних інтервалів. Також спектр кільця із топологією Зариського є простором   але в загальному випадку не є простором  .
  • Підмножина простору   з індукованою топологією є простором  .
  • Декартовий добуток просторів   теж є простором  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати