Простий множник

просте число, яке ділить ціле число
Це зображення демонструє знаходження простих множників числа 864. Скорочений спосіб написання — 2 5 × 3 3

У теорії чисел, прості множники (прості подільники) додатного цілого числа — це прості числа, які ділять це число без остачі (без залишку)[1]. Виділити прості множники додатного цілого числа означає перелічити ці прості множники разом з їх кратностями. Процес визначення простих множників називається факторизацією цілих чисел. Основна теорема арифметики стверджує, що будь-яке натуральне число можна подати у вигляді єдиного (з точністю до порядку слідування) добутку простих множників[2].

Щоб скоротити вираз, прості множники часто подаються у вигляді степенів простих чисел (кратності). наприклад,

в якому множники 2, 3 і 5 мають кратності 3, 2 і 1, відповідно.

Для простого множника р числа n кратність числа p — це найбільший з показників степеня а, для яких ділить n остачі.

Для додатного цілого числа n, кількість простих множників n і сума простих множників n (без урахування кратності) — це приклади арифметичних функцій з n (адитивних арифметичних функцій)[3].

Повний квадратРедагувати

Квадрат числа має властивість, що всі його прості множники мають парні кратності. Наприклад, число 144 (квадрат 12) має прості множники

 

У більш зрозумілій формі:

 

Оскільки кожен простий множник присутній тут парне число разів, вихідне число можна подати у вигляді квадрата деякого числа. Таким же чином, куб числа — це число, у якого кратності простих множників діляться на три, і так далі.

Взаємно прості числаРедагувати

Додатні цілі числа, що не мають спільних простих множників, називаються взаємно простими. Два цілих числа a і b можна назвати взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник НСД  . Якщо для двох цілих чисел невідомі їх прості множники, то для визначення того, чи є вони взаємно простими, використовується алгоритм Евкліда; алгоритм виконується за поліноміальний час за кількістю цифр.

Ціле число 1 є взаємно простим для будь-якого додатного цілого числа, включаючи саме себе. Іншими словами, число 1 не має простих множників, воно — порожній добуток[en]. Це означає, що НОД   для будь-якого  .

Криптографічні застосуванняРедагувати

Визначення простих множників числа — це приклад задачі, яка часто використовується для забезпечення криптографічного захисту в системах шифрування[4]. Передбачається, що ця задача вимагає супер-поліноміального часу за кількістю цифр. Це означає, що відносно легко сконструювати задачу, вирішення якої зайняло б більше часу, ніж відомий вік Всесвіту за поточного розвитку комп'ютерів і за допомогою сучасних алгоритмів.

Функції ОмегаРедагувати

Функція ω(n) (омега) являє собою число різних простих множників n, у той час як функція Ω(n) (велика Омега) являє собою число простих множників n перелічене з урахуванням кратності[2]. Якщо

 

тоді

 

Наприклад, 24 = 23 × 31 Так що ω(24) = 2 і Ω(24) = 3 + 1 = 4

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  1. Jensen, Gary R. (2004). Arithmetic for Teachers: With Applications and Topics from Geometry. American Mathematical Society. 
  2. а б Riesel, Hans (1994). Prime numbers and computer methods for factorization. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3743-9. 
  3. Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 234. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. 
  4. Menezes, Alfred; van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (October 1996). Handbook of Applied Cryptography. CRC Press. ISBN 0-8493-8523-7.