Принцип еквівалентності

Версія від 17:43, 25 березня 2013, створена Addbot (обговорення | внесок) (Вилучення 29 інтервікі, відтепер доступних на Вікіданих: d:q210546)

Принцип еквівалентності - основне твердження загальної теорії відносності, за яким спостерігач не може жодним чином відрізнити дію гравітаційного поля від сили інерції, що виникає в системі відліку, яка рухається з прискоренням.

Принцип еквівалентності справедливий завдяки рівності гравітаційної та інерційної маси.

Розрізняють слабкий принцип еквівалентності та сильний принцип еквівалентності. Різниця між ними в тому, що слабкий принцип - це локальне твердження, а сильний принцип - це твердження, що стосується будь-якої точки простору часу, тобто будь-якого місця у Всесвіті й будь-якого часу в минулому чи майбутньому.

Математичне формулювання

Подивимось, як цей принцип відображається у формулах. Для цього розглянемо світову лінію матеріальної точки з масою  . Натуральний параметр цієї лінії позначимо  , він пропорційний власному часу матеріальної точки  :

 

де   - швидкість світла. Різниця   натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він повязаний з приростами координат наступною формулою:

 

Одиничний дотичний вектор   до світової лінії є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості  :

 

Геодезична кривина світової лінії також є справжнім чотиривектором, і дорівнює:

 

В спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки було повязане із силою наступною формулою:

 

Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то ми можемо замість другої похідної по часу підставити вектор кривини   з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до наступної тензорної формули:

 

Всі справжні сили, окрім сили тяжіння і сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані в векторі  . Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:.

 

Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком в формулі (6), повязаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок в праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу   (еф з тільдою):

 

Звернемо увагу, що маса   в лівій частині формули (6) винесена за дужки, а тому при розритті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:

 

і гравітаційна маса, яка стоїть множником в формулі для гравітаційної сили:

 

Ясно, що відокремити силу тяжіння від сил інерції важко, особливо в нестаціонарному гравітаційному полі.

Проте ми можемо окремо говорити про сили інерції у випадку плоского простору Мінковського, коли тензор Рімана тотожно дорівнює нулю. Також ми можемо говорити тільки про силу гравітації і відсутність сил інерції, якщо метричний тензор не залежить від часу і на нескінченності переходить в постійний тензор Мінковського: