Поверхневий інтеграл: відмінності між версіями

[неперевірена версія][перевірена версія]
Немає опису редагування
м (правопис)
 
(Не показано 32 проміжні версії 26 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
[[Image:Surface integral illustration.png|250px|thumb|Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи]]
[[Файл:Surface integral illustration.svg|250px|thumb|Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи]]
{{Calculus}}
В [[математика|математиці]] '''поверхневим інтегралом''' називається [[визначений інтеграл]], котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог [[лінійний інтеграл|лінійного інтегралу]]. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і [[векторні поля]] (тобто функції, які повертають [[вектор]]и як значення).
У [[математика|математиці]] '''поверхне́вий інтегра́л''' — це [[визначений інтеграл]], котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог [[лінійний інтеграл|лінійного інтегралу]]. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і [[векторні поля]] (тобто функції, які повертають [[вектор]]и як значення).


Поверхневі інтеграли мають [[застосування]] у [[фізика|фізиці]], зокрема в класичній теорії [[електромагнетизм]]у.
Поверхневі інтеграли мають [[застосування]] у [[фізика|фізиці]], зокрема в класичній теорії [[електромагнетизм]]у.
Рядок 6: Рядок 7:
== Поверхневі інтеграли ==
== Поверхневі інтеграли ==


''Шмат [[поверхня|поверхні]]'' <math>\!S</math>, заданий у параметричні формі: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, причому (u, v) пробігають деяку область <math>\!\Gamma</math> площини, називається <tt>гладким</tt>, якщо різні пари [[значення|значень]] <math>\!(u, v)</math> дають різні точки <math>\!S</math>, [[часткова похідна|часткові похідні]] функцій <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math> неперервні і завжди
''Шмат [[поверхня|поверхні]]'' <math>S</math>, заданий у параметричні формі: <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math>, причому <math>(u, v)</math> пробігають деяку область <math>\Gamma</math> площини, називається <tt>гладким</tt>, якщо різні пари [[значення|значень]] <math>(u, v)</math> дають різні точки <math>S</math>, [[часткова похідна|часткові похідні]] функцій <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math> неперервні і завжди


: <math>\!A^2+B^2+C^2>0,</math>
: <math>A^2+B^2+C^2>0,</math> де


<math>
: <math>
A=\begin{vmatrix}
A=\begin{vmatrix}
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\
\end{vmatrix}</math>
\end{vmatrix},</math>


<math>
: <math>
\;B=\begin{vmatrix}
B=\begin{vmatrix}
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\
\end{vmatrix}</math>
\end{vmatrix},</math>


<math>
: <math>
\;C=\begin{vmatrix}
C=\begin{vmatrix}
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\
\end{vmatrix}</math>
\end{vmatrix}.</math>


Якщо поверхня <math>\!S</math> складається з кінцевого числа гладких кусків поверхні, то <math>\!S</math> називається <tt>кусково гладкою</tt>.
Якщо поверхня <math>S</math> складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то <math>S</math> називається <tt>кусково гладкою</tt>.


Гладка поверхня <math>\!S</math> називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на <math>\!S</math>, виходячи з будь-якої точки <math>\!M_0</math> на <math>\!S</math>, повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в <math>\!M_0</math>. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, [[лист Мебіуса]]. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.
Гладка поверхня <math>S</math> називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на <math>S</math>, виходячи з будь-якої точки <math>M_0</math> на <math>S</math>, повертаємося в початкове положення з напрямом [[нормаль|нормалі]], вибраним в <math>M_0</math>. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, [[лист Мебіуса]]. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.


== Площа гладкої поверхні ==
== Площа гладкої поверхні ==
{{Головна|Площа поверхні}}
Хай поверхня <math>S</math> задана параметрично: <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math>, причому <math>u</math> і <math>v</math> пробігають деяку область <math>\Gamma</math> площини <math>u</math>, <math>v</math>. Тоді площа <math>S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом


: <math>\iint\limits_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v</math>, де
Хай поверхня <math>\!S</math> задана параметрично: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, причому <math>\!u</math> і <math>\!v</math> пробігають деяку область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>. Тоді площа <math>\!S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом


: <math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math>,
<math>\iint_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>,
де
<math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math>


<math>F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}</math>
: <math>F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}</math>,


<math>G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2</math>;
: <math>G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2</math>.


підінтегральний вираз
Підінтегральний вираз


<math>dS=\sqrt{EG-F^2} dudv</math>
: <math>\mathrm{d}S=\sqrt{EG-F^2}\, \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v</math>


називається ''елементом поверхні''.
називається ''елементом поверхні''.


Якщо <math>\!S</math> задана явно рівнянням <math>\!z=\phi(x, y)</math>, причому <math>\!(x, y)</math> пробігають область <math>\!S'</math> (проекцію області <math>\!S</math> на площину x0y), то:
Якщо <math>S</math> задана явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math> (проєкцію області <math>S</math> на площину <math>x0y</math>), то:


<math>S=\iint_{\S \prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\,dy</math>,
: <math>S=\iint\limits_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y</math>, де


: <math>p={\partial z \over \partial x}</math>, <math>q={\partial z \over \partial y}</math>.
де

:<math>p={\partial z \over \partial x}</math>, <math>q={\partial z \over \partial y}</math>


== Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду ==
== Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду ==


=== Поверхневі інтеграли 1-го роду ===
=== Поверхневі інтеграли 1-го роду ===
[[Файл:Surface integral.png|left|thumb|Рис.&nbsp;1]]

[[Зображення:Surface integral.png|left|thumb|Рис.&nbsp;1]]

<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>.
<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>.


Нехай деяка функція <math>\!f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>\!S</math>. Хай <math>\!Z</math> позначає деяке розбиття <math>\!S</math> на кінцеву кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\!\Delta S_i</math>, <math>\!\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> і <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp;— довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис.&nbsp;1). Число
Нехай деяка функція <math>f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>S</math>. Хай <math>Z</math> позначає деяке розбиття <math>S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\Delta S_i</math>, <math>\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>S_i</math> і <math>M_i=(x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp;— довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис.&nbsp;1). Число


<math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math>
: <math>S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math>


називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>.
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>Z</math>.
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке<math>\! \delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math> <math>\!|S(Z) - I|<\delta</math>, то <math>\!I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>\!f(x, y, z)</math> по поверхні <math>\!S</math> і записується
Якщо існує число <math>I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\epsilon>0</math> знайдеться таке<math> \Delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>Z</math> з <math>\Delta(Z)<\Delta</math>, незалежно від вибору точок <math>M_i</math> <math>|S(Z) - I|<\Delta</math>, то <math>I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>f(x, y, z)</math> по поверхні <math>S</math> і записується


<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds</math>
: <math>I=\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}s</math>.


Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>\!f(x, y, z) \equiv 1</math>
Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>f(x, y, z) \equiv 1</math>


число <math>\!I</math> дає площу <math>\!S</math> поверхні <math>\!S</math>.
число <math>I</math> дає площу <math>S</math> поверхні <math>S</math>.


<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:
<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:


<math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>,
: <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math>,


причому <math>\!u</math> та <math>\!v</math> пробігають область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>
причому <math>u</math> та <math>v</math> пробігають область <math>\Gamma</math> площини <math>u</math>, <math>v</math>


<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du dv </math>
: <math>I=\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}s=\iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, \mathrm{d}u \mathrm{d}v </math>.


Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>\!z=\phi(x, y)</math> причому <math>\!(x, y)</math> пробігають область <math>\!S'</math>, то
Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>z=\phi(x, y)</math> причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math>, то


<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx dy </math>
: <math>I=\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}s=\iint\limits_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ \mathrm{d}x \mathrm{d}y </math>.


Аналогічні формули вірні, якщо <math>\!S</math> представлена рівняннями виду <math>\!x=\psi(y, z)</math> чи <math>\!y=\chi(x, z)</math>
Аналогічні формули вірні, якщо <math>S</math> представлена рівняннями виду <math>x=\psi(y, z)</math> чи <math>y=\chi(x, z)</math>.


=== Поверхневі інтеграли 2-го роду ===
=== Поверхневі інтеграли 2-го роду ===
[[Файл:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис.&nbsp;2]]
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів.


Нехай в точках поверхні <math>S</math>, розташованої однозначно над площиною
[[Зображення:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис.&nbsp;2]]
<math>x, y</math> і заданою явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, визначена обмежена функцією <math>f(x, y, z)</math>. Нехай <math>Z</math> є розбиття поверхні <math>S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>S_i</math>, <math>(i=1, 2, .... n)</math>, <math>\Delta{Z}</math>&nbsp;— найбільший діаметр елементарних поверхонь, <math>M_i=(x_i, y_i, z_i)</math>&nbsp;— довільна точка, вибрана на елементарній поверхні <math>S_i</math>. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні <math>S_i</math> визначає напрям обходу в площині <math>x, y</math>, біля кордону проєкції <math>S'_i</math>. Площа <math>\Delta S'_i</math> цієї проєкції береться із знаком «+», якщо межа проєкції <math>S'_i</math> проходиться в додатному напрямі; інакше&nbsp;— із знаком «—» (Рис.&nbsp;2).

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>\!S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>\!S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні <math>\!S</math>, розташованої однозначно над площиною
<math>\!x, y</math> і заданою явно рівнянням <math>\!z=\phi(x, y)</math>, визначена обмежена функцією <math>\!f(x, y, z)</math>. Нехай <math>\!Z</math> є розбиття поверхні <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math>, <math>\!(i=1, 2, .... n)</math>, <math>\!\Delta{Z}</math>&nbsp;— найбільший діаметр елементарних поверхонь, <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i)</math>&nbsp;— довільна точка, вибрана на елементарній поверхні <math>\!S_i</math>. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні <math>\!S_i</math> визначає напрям обходу в площині <math>\!x, y</math>, біля кордону проекції <math>\!S'_i</math>. Площа <math>\!\Delta S'_i</math> цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції <math>\!S'_i</math> проходиться в додатному напрямі; інакше&nbsp;— із знаком «—» (Рис.&nbsp;2).


Число
Число


<math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math>
: <math>S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math>


називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>\!f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\!\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math>\! S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\!\Delta S'_i</math> проекції <math>\!S'_i</math> поверхні <math>\! S_i</math> на площину <math>\!x, y</math>.
називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math> S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\Delta S'_i</math> проєкції <math>S'_i</math> поверхні <math> S_i</math> на площину <math>x, y</math>.


Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\!\delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math>, завжди |<math>\!|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>\!I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від
Якщо існує число <math>I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\Delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>Z</math> з <math>\Delta(Z)<\Delta</math>, незалежно від вибору точок <math>M_i</math>, завжди |<math>|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від


<math>\!f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>\!S</math> і пишуть
: <math>f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>S</math> і пишуть


<math>\!\iint_{S} f(x, y, z) \ dx\; dy</math>
: <math>\iint\limits_{S} f(x, y, z) \ \mathrm{d}x\; \mathrm{d}y</math>.


Якщо <math>\!S</math> не має взаємно однозначної проекції на площину <math>\!x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проекція]], то поверхневий інтеграл по <math>\!S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях.
Якщо <math>S</math> не має взаємно однозначної проєкції на площину <math>x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проєкція]], то поверхневий інтеграл по <math>S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях.


Якщо <math>\!S</math> має однозначну проекцію на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду
Якщо <math>S</math> має однозначну проєкцію на площину <math>y, z</math> або <math>x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:


<math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz</math>
: <math>\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}y \mathrm{d}z</math> та


<math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dz dx</math>
: <math>\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}z \mathrm{d}x</math>,


де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій <math>\!S_i</math> на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>.
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проєкцій <math>S_i</math> на площину <math>y, z</math> або <math>x, z</math>.


Нарешті, для трьох функцій <math>\!P(x, y, z)</math>, <math>\!Q(x, y, z)</math>, <math>\!R(x, y, z)</math>, визначених на <math>\!S</math>, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший <tt>поверхневий інтеграл другого роду</tt>:
Нарешті, для трьох функцій <math>P(x, y, z)</math>, <math>Q(x, y, z)</math>, <math>R(x, y, z)</math>, визначених на <math>S</math>, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший <tt>поверхневий інтеграл другого роду</tt>:




<math>\!
: <math>
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S} R\;dx\; xy
\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y =\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z + \iint\limits_{S} Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x +\iint\limits_{S} R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y
</math>
</math>.


==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ====
==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ====
'''1'''. Нехай поверхня <math>S</math> має явне представлення <math>z= \phi (x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> змінюються в області <math>S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>z</math> є гострим, обчислюється так:


: <math>
'''1'''. Нехай поверхня <math>\!S</math> має явне представлення <math>\!z= \phi (x, y)</math>, причому <math>\!(x, y)</math> змінюються в області <math>\!S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>\!S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>\!z</math> є гострим, обчислюється так:
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y= - \iint\limits_{S'} f(x, y, \phi(x, y)).

<math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= - \iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))
</math>
</math>


Якщо вибрана інша сторона поверхні, то
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то


<math>\!
: <math>
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \iint_{S} f(x, y, \phi(x, y))
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y= \iint\limits_{S} f(x, y, \phi(x, y)).
</math>
</math>


Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:


<math>\!
: <math>
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= - \iint_{S'} f(\psi(y, z), y, z)
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z= - \iint\limits_{S'} f(\psi(y, z), y, z),
</math>
</math>


де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!x=\psi(y, z)</math>, <math>\!S'</math>&nbsp;— проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>\!x</math> гострий кут. Так само
де <math>S</math> задана рівнянням <math>x=\psi(y, z)</math>, <math>S'</math>&nbsp;— проєкція <math>S</math> на площину <math>y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>x</math> гострий кут. Так само


<math>\!
: <math>
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= - \iint_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz dx
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}z \mathrm{d}x= - \iint\limits_{S'} f(x, \chi(z, x), y) \mathrm{d}z \mathrm{d}x,
</math>
</math>


де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!y=\chi(z, x)</math>, <math>\!S'</math> проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!x, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.
де <math>S</math> задана рівнянням <math>y=\chi(z, x)</math>, <math>S'</math> проєкція <math>S</math> на площину <math>x, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.


'''2'''. Якщо поверхня <math>\!S</math> задана в параметричній формі: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, то
'''2'''. Якщо поверхня <math>S</math> задана в параметричній формі: <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math>, то


<math>\!
: <math>
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\; dv
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y= \pm \iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;\mathrm{d}u\; \mathrm{d}v
</math>
</math>


<math>\!
: <math>
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\; dv
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z= \pm \iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;\mathrm{d}u\; \mathrm{d}v
</math>
</math>


<math>\!
: <math>
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\; dv
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}z \mathrm{d}x= \pm \iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;\mathrm{d}u\; \mathrm{d}v
</math>
</math>


де
де


<math>\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math>
: <math>A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math>


<math>\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math>
: <math>B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math>


<math>\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math>
: <math>C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math>


дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо
дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\Gamma</math> площини <math>u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо


<math>\!
: <math>
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\pm \iint_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\; dv
\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y =\pm \iint\limits_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; \mathrm{d}u\; \mathrm{d}v
</math>
</math>


=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду ===
=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду ===
Якщо <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>&nbsp;— кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>x, y</math> і <math>z</math>, то


<math>
Якщо <math>\!\alpha</math>, <math>\!\beta</math>, <math>\!\gamma</math>&nbsp;— кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>\!x, y</math> і <math>\!z</math>, то
\iint\limits_{S} {P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R}\; \mathrm{d}x\; \mathrm{d}y = \pm {\iint\limits_{S} {(P\; \cos \alpha + Q\; \cos \beta\; + R \cos \gamma )}\; \mathrm{d}S }

<math>\!
\iint_{S} {P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R}\; dz\; dy = \pm {\iint_{S} {(P\; \cos \alpha + Q\; \cos \beta P\; + R \cos \gamma }\; dS }
</math>
</math>


тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.
тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.


[[Зображення:Surface integral2.png|right|thumb|Рис.&nbsp;3]]
[[Файл:Surface integral2.png|right|thumb|Рис.&nbsp;3]]

Поверхневий інтеграл
Поверхневий інтеграл


<math>\!
: <math>
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy
\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y
</math>
</math>


має для різних незамкнутих поверхонь <math>\!S_1</math> і <math>\!S_2</math> з однією і тією ж границею <math>\!C</math> у загальному випадку різні значення (Рис.&nbsp;3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції
має для різних незамкнутих поверхонь <math>S_1</math> і <math>S_2</math> з однією і тією ж границею <math>C</math> у загальному випадку різні значення (Рис.&nbsp;3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції


<math>\!
: <math>
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}
</math>
</math>


неперервні в однозв'язній просторовій області <math>\!V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>\!S</math> в <math>\!V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли
неперервні в однозв'язній просторовій області <math>V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>S</math> в <math>V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли


<math>\!
: <math>
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0
</math>
</math>
Рядок 220: Рядок 212:


=== [[Об'єм]] [[тіло|тіла]] ===
=== [[Об'єм]] [[тіло|тіла]] ===

Об'єм <math>\!V</math> тіла (<math>\!V</math>), обмеженого кусково гладкими поверхнями <math>\!S</math>, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:
Об'єм <math>\!V</math> тіла (<math>\!V</math>), обмеженого кусково гладкими поверхнями <math>\!S</math>, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:


<math>\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy</math>
: <math>\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy</math>


чи
чи


<math>\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz</math>
: <math>\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz</math>


чи
чи


<math>\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx</math>
: <math>\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx</math>




або
або


<math>\!
: <math>\!
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dx+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dz+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy
</math>
</math>


причому інетграли слід брати по зовнішній стороні поверхні <math>\!S</math>.
при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні <math>\!S</math>.


=== Центр тяжіння та сила притягання ===
=== Центр тяжіння та сила притягання ===

Якщо поверхня <math>\!S</math> покрита масою з поверхневою густиною <math>\!\delta(x, y, z)</math>, то повна маса поверхні <math>\!S</math> дорівнює
Якщо поверхня <math>\!S</math> покрита масою з поверхневою густиною <math>\!\delta(x, y, z)</math>, то повна маса поверхні <math>\!S</math> дорівнює


<math>\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS</math>
: <math>\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS</math>


координати <math>\!(\xi, \eta, \zeta)</math> центру тяжіння дорівнюють
координати <math>\!(\xi, \eta, \zeta)</math> центру тяжіння дорівнюють


<math>\!
: <math>\!
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS
</math>
</math>
Рядок 264: Рядок 254:
компоненти сили притягання <math>\!F</math> цього розподілу [[маса|маси]], що діє на матеріальну точку <math>\!M=(x_0, y_0, z_0)</math> одиничної маси, дорівнюють
компоненти сили притягання <math>\!F</math> цього розподілу [[маса|маси]], що діє на матеріальну точку <math>\!M=(x_0, y_0, z_0)</math> одиничної маси, дорівнюють


<math>\!
: <math>\!
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS
</math>
</math>


<math>\!\gamma= const</math>
: <math>\!\gamma= const</math>


== Дивіться також ==
== Див. також ==
{{Портал математика}}
{{Портал|Математика}}
* [[Інтегральне числення]].
* [[Інтегральне числення]].


== Література ==
== Джерела ==

* ''Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.'', ''Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— 976&nbsp;с., ил.
* ''Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.'', ''Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— 976&nbsp;с., ил.


Рядок 290: Рядок 279:
[[Категорія:Поверхні]]
[[Категорія:Поверхні]]
[[Категорія:Інтегральне числення]]
[[Категорія:Інтегральне числення]]
[[Категорія:Площа]]

[[ar:تكامل سطحي]]
[[ca:Integral de superfície]]
[[cs:Plošný integrál]]
[[de:Oberflächenintegral]]
[[en:Surface integral]]
[[eo:Surfaca integralo]]
[[es:Integral de superficie]]
[[fi:Pintaintegraali]]
[[fr:Intégrale de surface]]
[[it:Integrale di superficie]]
[[ja:面積分]]
[[km:អាំងតេក្រាលផ្ទៃ]]
[[nl:Oppervlakte-integraal]]
[[pl:Całka powierzchniowa]]
[[ru:Поверхностные интегралы]]
[[sv:Ytintegral]]
[[zh:曲面积分]]

Поточна версія на 14:53, 17 червня 2021

У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Поверхневі інтегралиРедагувати

Шмат поверхні  , заданий у параметричні формі:  ,  ,  , причому   пробігають деяку область   площини, називається гладким, якщо різні пари значень   дають різні точки  , часткові похідні функцій  ,  ,   неперервні і завжди

  де
 
 
 

Якщо поверхня   складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то   називається кусково гладкою.

Гладка поверхня   називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на  , виходячи з будь-якої точки   на  , повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в  . Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхніРедагувати

Докладніше: Площа поверхні

Хай поверхня   задана параметрично:  ,  ,  , причому   і   пробігають деяку область   площини  ,  . Тоді площа   поверхні визначається поверхневим інтегралом

 , де
 ,
 ,
 .

Підінтегральний вираз

 

називається елементом поверхні.

Якщо   задана явно рівнянням  , причому   пробігають область   (проєкцію області   на площину  ), то:

 , де
 ,  .

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го родуРедагувати

Поверхневі інтеграли 1-го родуРедагувати

 
Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція   визначена і обмежена на гладкій поверхні  . Хай   позначає деяке розбиття   на скінченну кількість елементарних поверхонь   (i = 1, 2 …. і) з площами  ,   є найбільшим діаметром елементарних поверхонь   і   — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

 

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю  . Якщо існує число   з такою властивістю: для кожного   знайдеться таке , що для кожного розбиття   з  , незалежно від вибору точок    , то   називається поверхневим інтегралом 1-го роду від   по поверхні   і записується

 .

Для окремого випадку підінтегрального виразу  

число   дає площу   поверхні  .

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

 ,  ,  ,

причому   та   пробігають область   площини  ,  

 .

Якщо поверхня задана явно рівнянням   причому   пробігають область  , то

 .

Аналогічні формули вірні, якщо   представлена рівняннями виду   чи  .

Поверхневі інтеграли 2-го родуРедагувати

 
Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні  ; на кожній замкнутій кривій на   визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні  , розташованої однозначно над площиною   і заданою явно рівнянням  , визначена обмежена функцією  . Нехай   є розбиття поверхні   на скінченну кількість елементарних поверхонь  ,  ,   — найбільший діаметр елементарних поверхонь,   — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні  . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні   визначає напрям обходу в площині  , біля кордону проєкції  . Площа   цієї проєкції береться із знаком «+», якщо межа проєкції   проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

 

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю  . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут   множиться не на площу   (елементарній поверхні   а на взяту із знаком площа   проєкції   поверхні   на площину  .

Якщо існує число   з такою властивістю: для кожного   знайдеться таке  , що для кожного розбиття   з  , незалежно від вибору точок  , завжди | , то   називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

  за вибраною стороною   і пишуть
 .

Якщо   не має взаємно однозначної проєкції на площину  , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проєкція, то поверхневий інтеграл по   визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо   має однозначну проєкцію на площину   або  , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:

  та
 ,

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проєкцій   на площину   або  .

Нарешті, для трьох функцій  ,  ,  , визначених на  , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:


 .

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)Редагувати

1. Нехай поверхня   має явне представлення  , причому   змінюються в області  . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні  , для якої кут між нормаллю і віссю   є гострим, обчислюється так:

 

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

 

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

 

де   задана рівнянням  ,   — проєкція   на площину  , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю   гострий кут. Так само

 

де   задана рівнянням  ,   проєкція   на площину  , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня   задана в параметричній формі:  ,  ,  , то

 
 
 

де

 
 
 

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області   площини   відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

 

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го родуРедагувати

Якщо  ,  ,   — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями   і  , то

 

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

 
Рис. 3

Поверхневий інтеграл

 

має для різних незамкнутих поверхонь   і   з однією і тією ж границею   у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

 

неперервні в однозв'язній просторовій області   (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні   в   обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

 

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтегралаРедагувати

Об'єм тілаРедагувати

Об'єм   тіла ( ), обмеженого кусково гладкими поверхнями  , можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

 

чи

 

чи

 


або

 

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні  .

Центр тяжіння та сила притяганняРедагувати

Якщо поверхня   покрита масою з поверхневою густиною  , то повна маса поверхні   дорівнює

 

координати   центру тяжіння дорівнюють

 
 
 

компоненти сили притягання   цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку   одиничної маси, дорівнюють

 
 
 
 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.