Перегляд вихідного коду сторінки Поверхневий інтеграл

[[Файл:Surface integral illustration.svg|250px|thumb|Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи]]
{{Calculus}}
У [[математика|математиці]] '''поверхне́вий інтегра́л'''&nbsp;— це [[визначений інтеграл]], котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог [[лінійний інтеграл|лінійного інтегралу]]. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і [[векторні поля]] (тобто функції, які повертають [[вектор]]и як значення).

Поверхневі інтеграли мають [[застосування]] у [[фізика|фізиці]], зокрема в класичній теорії [[електромагнетизм]]у.

== Поверхневі інтеграли ==

''Шмат [[поверхня|поверхні]]'' <math>S</math>, заданий у параметричні формі: <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math>, причому <math>(u, v)</math> пробігають деяку область <math>\Gamma</math> площини, називається <tt>гладким</tt>, якщо різні пари [[значення|значень]] <math>(u, v)</math> дають різні точки <math>S</math>, [[часткова похідна|часткові похідні]] функцій <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math> неперервні і завжди

: <math>A^2+B^2+C^2>0,</math> де

: <math>
A=\begin{vmatrix}
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v}  \\
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v}  \\
\end{vmatrix},</math>

: <math>
B=\begin{vmatrix}
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v}  \\
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v}  \\
\end{vmatrix},</math>

: <math>
C=\begin{vmatrix}
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v}  \\
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v}  \\
\end{vmatrix}.</math>

Якщо поверхня <math>S</math> складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то <math>S</math> називається <tt>кусково гладкою</tt>.

Гладка поверхня <math>S</math> називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на <math>S</math>, виходячи з будь-якої точки <math>M_0</math> на <math>S</math>, повертаємося в початкове положення з напрямом [[нормаль|нормалі]], вибраним в <math>M_0</math>. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, [[лист Мебіуса]]. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

== Площа гладкої поверхні ==
{{Головна|Площа поверхні}}
Хай поверхня <math>S</math> задана параметрично: <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math>, причому <math>u</math> і <math>v</math> пробігають деяку область <math>\Gamma</math> площини <math>u</math>, <math>v</math>. Тоді площа <math>S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом

: <math>\iint\limits_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v</math>, де

: <math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math>,

: <math>F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}</math>,

: <math>G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2</math>.

Підінтегральний вираз

: <math>\mathrm{d}S=\sqrt{EG-F^2}\, \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v</math>

називається ''елементом поверхні''.

Якщо <math>S</math> задана явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math> (проєкцію області <math>S</math> на площину <math>x0y</math>), то:

: <math>S=\iint\limits_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y</math>, де

: <math>p={\partial z \over \partial x}</math>, <math>q={\partial z \over \partial y}</math>.

== Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду ==

=== Поверхневі інтеграли 1-го роду ===
[[Файл:Surface integral.png|left|thumb|Рис.&nbsp;1]]
<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>.

Нехай деяка функція <math>f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>S</math>. Хай <math>Z</math> позначає деяке розбиття <math>S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\Delta S_i</math>, <math>\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>S_i</math> і <math>M_i=(x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp;— довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис.&nbsp;1). Число

: <math>S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math>

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>Z</math>.
Якщо існує число <math>I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\epsilon>0</math> знайдеться таке<math> \Delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>Z</math> з <math>\Delta(Z)<\Delta</math>, незалежно від вибору точок <math>M_i</math> <math>|S(Z) - I|<\Delta</math>, то <math>I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>f(x, y, z)</math> по поверхні <math>S</math> і записується

: <math>I=\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}s</math>.

Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>f(x, y, z) \equiv 1</math>

число <math>I</math> дає площу <math>S</math> поверхні <math>S</math>.

<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

: <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math>,

причому <math>u</math> та <math>v</math> пробігають область <math>\Gamma</math> площини <math>u</math>, <math>v</math>

: <math>I=\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}s=\iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, \mathrm{d}u \mathrm{d}v </math>.

Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>z=\phi(x, y)</math> причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math>, то

: <math>I=\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}s=\iint\limits_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ \mathrm{d}x \mathrm{d}y </math>.

Аналогічні формули вірні, якщо <math>S</math> представлена рівняннями виду <math>x=\psi(y, z)</math> чи <math>y=\chi(x, z)</math>.

=== Поверхневі інтеграли 2-го роду ===
[[Файл:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис.&nbsp;2]]
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні <math>S</math>, розташованої однозначно над площиною
<math>x, y</math> і заданою явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, визначена обмежена функцією <math>f(x, y, z)</math>. Нехай <math>Z</math> є розбиття поверхні <math>S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>S_i</math>, <math>(i=1, 2, .... n)</math>, <math>\Delta{Z}</math>&nbsp;— найбільший діаметр елементарних поверхонь, <math>M_i=(x_i, y_i, z_i)</math>&nbsp;— довільна точка, вибрана на елементарній поверхні <math>S_i</math>. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні <math>S_i</math> визначає напрям обходу в площині <math>x, y</math>, біля кордону проєкції <math>S'_i</math>. Площа <math>\Delta S'_i</math> цієї проєкції береться із знаком «+», якщо межа проєкції <math>S'_i</math> проходиться в додатному напрямі; інакше&nbsp;— із знаком «—» (Рис.&nbsp;2).

Число

: <math>S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math>

називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math> S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\Delta S'_i</math> проєкції <math>S'_i</math> поверхні <math> S_i</math> на площину <math>x, y</math>.

Якщо існує число <math>I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\Delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>Z</math> з <math>\Delta(Z)<\Delta</math>, незалежно від вибору точок <math>M_i</math>, завжди |<math>|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від

: <math>f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>S</math> і пишуть

: <math>\iint\limits_{S} f(x, y, z) \ \mathrm{d}x\; \mathrm{d}y</math>.

Якщо <math>S</math> не має взаємно однозначної проєкції на площину <math>x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проєкція]], то поверхневий інтеграл по <math>S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях.

Якщо <math>S</math> має однозначну проєкцію на площину <math>y, z</math> або <math>x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:

: <math>\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}y \mathrm{d}z</math> та

: <math>\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}z \mathrm{d}x</math>,

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проєкцій <math>S_i</math> на площину <math>y, z</math> або <math>x, z</math>.

Нарешті, для трьох функцій <math>P(x, y, z)</math>, <math>Q(x, y, z)</math>, <math>R(x, y, z)</math>, визначених на <math>S</math>, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший <tt>поверхневий інтеграл другого роду</tt>:


: <math>
\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y =\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z + \iint\limits_{S} Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x +\iint\limits_{S}  R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y
</math>.

==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ====
'''1'''. Нехай поверхня <math>S</math> має явне представлення <math>z= \phi (x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> змінюються в області <math>S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>z</math> є гострим, обчислюється так:

: <math>
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y= - \iint\limits_{S'} f(x, y, \phi(x, y)).
</math>

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

: <math>
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y= \iint\limits_{S} f(x, y, \phi(x, y)).
</math>

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

: <math>
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z= - \iint\limits_{S'} f(\psi(y, z), y, z),
</math>

де <math>S</math> задана рівнянням <math>x=\psi(y, z)</math>, <math>S'</math>&nbsp;— проєкція <math>S</math> на площину <math>y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>x</math> гострий кут. Так само

: <math>
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}z \mathrm{d}x= - \iint\limits_{S'} f(x, \chi(z, x), y) \mathrm{d}z \mathrm{d}x,
</math>

де <math>S</math> задана рівнянням <math>y=\chi(z, x)</math>, <math>S'</math> проєкція <math>S</math> на площину <math>x, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

'''2'''. Якщо поверхня <math>S</math> задана в параметричній формі: <math>x=x(u, v)</math>, <math>y=y(u, v)</math>, <math>z=z(u, v)</math>, то

: <math>
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y= \pm \iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;\mathrm{d}u\; \mathrm{d}v
</math>

: <math>
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z= \pm \iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;\mathrm{d}u\; \mathrm{d}v
</math>

: <math>
\iint\limits_{S} f(x, y, z) \mathrm{d}z \mathrm{d}x= \pm \iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;\mathrm{d}u\; \mathrm{d}v
</math>

де

: <math>A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math>

: <math>B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math>

: <math>C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math>

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\Gamma</math> площини <math>u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

: <math>
\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y =\pm \iint\limits_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; \mathrm{d}u\; \mathrm{d}v
</math>

=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду ===
Якщо <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>&nbsp;— кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>x, y</math> і <math>z</math>, то

<math>
\iint\limits_{S} {P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R}\; \mathrm{d}x\; \mathrm{d}y = \pm {\iint\limits_{S} {(P\; \cos \alpha + Q\; \cos \beta\; + R \cos \gamma )}\; \mathrm{d}S }
</math>

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

[[Файл:Surface integral2.png|right|thumb|Рис.&nbsp;3]]
Поверхневий інтеграл

: <math>
\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y
</math>

має для різних незамкнутих поверхонь <math>S_1</math> і <math>S_2</math> з однією і тією ж границею <math>C</math> у загальному випадку різні значення (Рис.&nbsp;3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

: <math>
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}
</math>

неперервні в однозв'язній просторовій області <math>V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>S</math> в <math>V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

: <math>
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0
</math>

== Геометричні і фізичні додатки поверхневого інтеграла ==

=== [[Об'єм]] [[тіло|тіла]] ===
Об'єм <math>\!V</math> тіла (<math>\!V</math>), обмеженого кусково гладкими поверхнями <math>\!S</math>, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

: <math>\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy</math>

чи

: <math>\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz</math>

чи

: <math>\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx</math>


або

: <math>\!
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dz+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy
</math>

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні <math>\!S</math>.

=== Центр тяжіння та сила притягання ===
Якщо поверхня <math>\!S</math> покрита масою з поверхневою густиною <math>\!\delta(x, y, z)</math>, то повна маса поверхні <math>\!S</math> дорівнює

: <math>\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS</math>

координати <math>\!(\xi, \eta, \zeta)</math> центру тяжіння дорівнюють

: <math>\!
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS
</math>

: <math>\!
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS
</math>

: <math>\!
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS
</math>

компоненти сили притягання <math>\!F</math> цього розподілу [[маса|маси]], що діє на матеріальну точку <math>\!M=(x_0, y_0, z_0)</math> одиничної маси, дорівнюють

: <math>\!
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS
</math>

: <math>\!
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS
</math>

: <math>\!
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS
</math>

: <math>\!\gamma= const</math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Інтегральне числення]].

== Джерела ==
* ''Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.'', ''Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— 976&nbsp;с., ил.

{{Math-stub}}

[[Категорія:Поверхні]]
[[Категорія:Інтегральне числення]]
[[Категорія:Площа]]