Відкрити головне меню

Плоский модуль над кільцем R  — такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність.

Векторні простори, вільні і, більш загально, проективні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі  — те ж саме, що проективні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями. [1]

Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Можна дати кілька еквівалентних означень плоского модуля. Нижче означення подані для комутативних кілець.

  • (Лівий)  -модуль   називається плоским тоді і тільки тоді, коли функтор тензорного добутку   є точним. Даний функтор переводить  -гомоморфізм   у  -гомоморфізм  який на елементах виду   задається як  і лінійно продовжується на весь тензорний добуток.
  • Оскільки функтор тензорного добутку завжди є точним справа, попередню вимогу можна послабити. А саме,  -модуль   є плоским, якщо для будь-якого ін'єктивного гомоморфізма  -модулів   індуковане відображення   також є ін'єктивним.
  • Модуль   є плоским, якщо для кожного скінченнопородженого ідеалу в кільці   (з природним вкладенням  ) індуковане відображення  є ін'єктивним.
  • Існує направлена множина  -модулів   з такими властивостями:
  1. Для всіх  ,   є скінченнопородженим вільним  -модулем.
  2. Індуктивна границя множини рівна  :  .
  • [2] Для будь-якої лінійної залежності в  ,
 ,
де  , існує матриця   така що
  1.   має розв'язок для деякого  .
  2.  .
  • Для будь-якого  -модуля  ,
  де   позначає функтор Tor.
  • Для будь-якого скінченнопородженого ідеала  ,
 .
  • Для довільного відображення  , де   є скінченнопородженим вільним  -модулем, і для довільного скінченнопородженого  -підмодуля  ,   розкладається через відображення у вільний  -модуль   для якого образ   є нулем:

Властивості плоских модулів над комутативним кільцемРедагувати

  • Пряма сума  є плоским модулем тоді і тільки тоді, коли кожен модуль   є плоским.
  • Для будь-якої мультиплікативної системи S кільця R локалізація кільця S-1R є плоским R-модулем.
  • Модуль M над комутативним кільцем R є плоским тоді і тільки тоді, коли для кожного простого ідеалу   локалізація   є плоским ідеалом і тоді і тільки тоді коли для кожного максимального ідеалу   локалізація   є плоским ідеалом.
  • Скінченнопороджений модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є локально вільним. Локально вільний модуль над кільцем R  — такий модуль M, що його локалізація по будь-якому простому ідеалу   є вільним модулем над кільцем часток  .
  • Плоскі модулі можна вказати на наступному ланцюжку включень:
Модулі без крученьплоскі модуліпроективні модулівільні модулі.
  • Для деяких класів кілець правильними є і обернені включення: наприклад, кожен модуль без кручень над дедекіндовим кільцем є плоским, плоский модуль над кільцем Артіна є проективним і проективний модуль над областю головних ідеалів (або над локальним кільцем) є вільним.
  • Для R-модуля еквівалентними M є такі твердження (які можна вважати означеннями строго плоских модулів):
    1. Послідовність   R-модулів є точною тоді і тільки тоді, коли точною є послідовність  
    2. Модуль M є плоским і для довільного R-модуля N, якщо   то  
    3. Модуль M є плоским і для довільного R-гомоморфізма  , якщо породжений гомоморфізм  є нульовим гомоморфізмом, то і  
  • Для строго плоского R-модуля M його анулятор  є рівним нулю. Натомість плоский модуль із нульовим анулятором не обов'язково буде строго плоским, прикладом чого є  -модуль  .
  • R-модуль M є строго плоским тоді і тільки тоді, коли він є плоским і для кожного максимального ідеалу  
  • Якщо кільце S є R-алгеброю, тобто існує гомоморфізм  , то S є строго плоским R-модулем тоді і тільки тоді, коли кожен простий ідеал кільця R є прообразом під дією f деякого простого ідеалу з S, тобто коли відображення   є сюр'єктивним (див. статтю Спектр кільця).
  • Нехай, як і вище, S є R-алгеброю і вона є строго плоским R-модулем. Якщо   є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) S-модулем, то і M є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) R-модулем.
  • При позначеннях попередньої властивості якщо   є скінченнопородженим проективним S-модулем, то і M є скінченнопородженим проективним R-модулем.

Категорні кограниціРедагувати

  • Прямі суми і індуктивні границі плоских модулів є плоскими. Це випливає з того факту, що тензорний добуток комутує з прямими сумами і індуктивними границями (більше того, воно комутує з усіма кограницями). Підмодулі і фактормодулі плоского модуля не обов'язково є плоскими (наприклад, плоским не є модуль Z/2 Z). Проте якщо підмодуль плоского модуля є в ньому прямим доданком, то фактор по ньому є плоским.

ПрикладиРедагувати

  • Оскільки для кільця R і довільного R-модуля M виконується  то R є плоским R-модулем. Відповідно це ж буде справедливим і для довільного вільного модуля над кільцем R.
  • Оскільки   є локалізацією кільця   по мультиплікативній множині   то   є плоским  -модулем. Це є прикладом плоского але не проективного модуля. Також це є прикладом плоского модуля із нульовим анулятором, який не є строго плоским. Дійсно, наприклад,  але  
  • Для будь-якого цілого числа   не є плоским над   оскільки   є ін'єктивним, але похідне відображення на тензорному добутку з   не є ін'єктивним.
  • Модуль   не є плоским над  
  • Для нетерового кільця   і його ідеалу   поповнення   по ідеалу   є плоским.[5] Воно є строго плоским тоді і тільки тоді, коли   міститься у радикалі Джекобсона кільця  .[6]

Гомологічна алгебраРедагувати

Властивість «плоскості» модуля можна виразити за допомогою функтора Tor, лівого похідного функтора для тензорного добутку. Лівий R- модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли TornR(-,M) = 0 для всіх   (тобто коли TornR(X, M) = 0 для всіх   і всіх правих R-модулів X), означення плоского правого модуля є аналогічним. Використовуючи цей факт, можна довести кілька властивостей короткої точної послідовності модулів:

 
  • Якщо A і C плоскі, то і B плоский.
  • Якщо B і C плоскі, то і A є плоским.
  • Якщо A і B плоскі, C в загальному випадку не є плоским. Однак:
  • Якщо A  — прямий доданок модуля B і B є плоским, то A і C плоскі.

Плоскі резольвентиРедагувати

Плоска резольвента модуля M  — це резольвента виду

… → F2F1F0M → 0

де всі Fi є плоскими модулями. Плоскі резольвенти використовуються при обчисленні функтора Tor.

Довжина плоскої резольвенти  — це найменший індекс n, такий що Fn не дорівнює нулю і Fi = 0 для всіх i, що є більшими за n. Якщо модуль M має скінченну плоску резольвенту, її довжина називається плоскою розмірністю модуля. [7], в іншому випадку говорять, що плоска розмірність нескінченна. Наприклад, якщо модуль M має плоску розмірність 0, то з точністю послідовності 0 → F0M → 0 випливає, що M є ізоморфним F 0 , тобто є плоским.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Matsumura, 1970, Proposition 3.G
  2. Bourbaki, Ch. I, § 2. Proposition 13, Corollay 1.
  3. Lazard, D. (1969). [http: //www.numdam.org/item? id = BSMF_1969__97__81_0 Autour de la platitude]. Bulletin de la Societe Mathematique de France 97: 81–128. 
  4. Eisenbud, Exercise 6.4.
  5. Matsumura, 1970, Corollary 1 of Theorem 55, p. 170
  6. Matsumura, 1970, Theorem 56
  7. Lam, 1999, p. 183

ЛітератураРедагувати

  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
  • Eisenbud, David (1995). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. 
  • Lam, Tsit-Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  • Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9