Перегляд вихідного коду сторінки Первісна

{{Calculus}}
[[Файл:Indefinite integral of 2x.pdf|thumb|Первісними для функції ''f(x)=2x'' є функції вигляду ''x²+C'', де ''C''&nbsp;— довільна стала]]
<!--
[[Файл:Slope Field.png|thumb|Поле напрямків функції ''ƒ''(''x'') = (x<sup>3</sup>/3)-(x<sup>2</sup>/2)-x+c, на якому зображено три розв'язки, отримані шляхом варіювання довільної константи ''C''.]]
-->
'''Пе́рві́сною''' для [[функція (математика)|функції]] ''f''(''x'') <!--дійсного аргументу на інтервалі [[дійсні числа|дійсних чисел]] ''J''--> називається така функція ''F(x)'', [[похідна]] якої ''F'(x)'' дорівнює ''f''(''x'')<!-- для всіх ''x'' з інтервалу ''J''-->.

[[Операція (математика)|Операція]] взяття первісної є [[обернена функція|оберненою]] (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної ''f''(''x'') будуть функції ''F''(''x'') + ''C'', де ''C'' &isin; ''R'' — довільна [[стала]] (зокрема, однією з первісних буде сама функція ''F''(''x'')). І навпаки, похідною від первісної ''F''(''x'') для функції ''f''(''x'') буде сама функція ''f''(''x'').

== Формальне означення та властивості первісної ==

Надалі через ''J'' будемо позначати довільний непорожній [[інтервал (математика)#Вища математика|інтервал]] дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).

{{МатОзначення}} Функція ''F(x)'' називається ''первісною'' (''примітивною'') для функції ''f(x)'' на інтервалі ''J'' дійсної осі,
якщо ''f(x) = F'(x)'' для всіх ''x'' &isin; ''J''.
</div>

Нехай функція ''F''&nbsp;— первісна функції ''f'' на інтервалі ''J''. Тоді
* функція ''F(x)'' є неперервною на інтервалі ''J'';
* функція ''F(x) + C'' теж є первісною для ''f'' на ''J'', де ''C &isin; R''&nbsp;— довільна стала (якщо функція ''f''(''x'') має первісну, то вона має нескінченну кількість первісних);
* будь-яка первісна для ''f'' на ''J'' може бути представлена у вигляді ''F(x) + C'', де ''C &isin; R''&nbsp;— довільна стала.
 
{{example}} Для функції ''y = 3x<sup>2</sup> '' первісними є функції ''F(x) = x<sup>3</sup>'', ''F(x) = x<sup>3</sup> + 5'', ''F(x)    = x<sup>3</sup> − 6'' тощо (на довільному інтервалі ''J'').
</div>

Не всі функції мають первісну.

{{example}} Функція
: <math>f(x) = \mathop{\mathrm{sign}}\, x = 
\begin{cases}
-1, & x < 0,\\
0, & x = 0,\\
1, & x > 0,
\end{cases}
</math>
не має первісної на [[відрізок#Відрізок числової прямої|відрізку]] {{nowrap|<nowiki>[</nowiki>−1, 1<nowiki>]</nowiki>}}.<ref>Доведення див. в §&nbsp;5.1.1 в Дороговцев&nbsp;А.&nbsp;Я. ''Математический анализ''.&nbsp;— К. : Факт, 2004.&nbsp;— 560с.</ref>
</div>

{{Plain theorem}} Для довільної [[неперервна функція|неперервної]] на деякому інтервалі ''J'' функції ''f'' існує первісна на цьому інтервалі.<ref>Доведення див. в п.&nbsp;183
Фихтенгольц&nbsp;Г.&nbsp;М. ''Основы математического анализа'' в 2 т. / Под ред. Головиной&nbsp;Л.&nbsp;И.&nbsp;— Москва : Наука, 196.&nbsp;— 1968.&nbsp;— Т.&nbsp;1.
</ref><!-->(див. \hreff{Основну теорему аналізу})<-->
</div>

== Методи знаходження первісної ==
{{Докладніше|Методи інтегрування}}

Знаходження первісної для заданої функції ''f''(''x'') називається ''інтегруванням''. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення [[невизначений інтеграл|невизначеного інтегралу]], а саме
* [[Таблиця основних формул інтегрування]]
* [[Методи інтегрування#Метод підстановки (заміни змінної)|Метод підстановки (або формула заміни змінної)]]
* [[Інтегрування частинами|Метод інтегрування частинами]]

Не завжди первісну можна записати у вигляді скінченної комбінації [[елементарні функції|елементарних функцій]] (наприклад, функція exp(''x''<sup>2</sup>) має первісну як неперервна функція, проте ця первісна не виражається аналітично). В такому разі первісну треба шукати у вигляді функціонального [[ряд (математика)|ряду]] або [[нескінченний добуток|нескінченного добутку]] елементарних функцій.

== Див. також ==
* [[Похідна]]
* [[Інтегральне числення]]
** [[Невизначений інтеграл]]
** [[Невизначений інтеграл функції комплексної змінної]]
** [[Методи інтегрування]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фихтенгольц.том1}}
* [http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Іваненко, О.&nbsp;О.&nbsp;Курс лекцій з математичного аналізу [Текст] : навч. посіб. / О.&nbsp;О.&nbsp;Іваненко, Т.&nbsp;В.&nbsp;Іваненко.&nbsp;— Суми : СумДУ, 2011.&nbsp;— 534 с.]
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/int Динамічні математичні моделі FIZMA.neT]
== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Первісна функція|сторінки=368}}
{{math-stub}}

[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Інтегральне числення]]
[[Категорія:Математична термінологія]]