Ортонормований базис

В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис.

Зміст

Загальне твердженняРедагувати

В кожному гільбертовому просторі  , ортонормована система векторів   утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам[1]:

  1. Довільний вектор   може бути записано у вигляді:
     , де   (k = 1, 2, …)
  2. Для будь якого вектора  
     (рівність Персеваля)
  3. Для довільної пари векторів   та  
     
  4. Ортонормована система u1, u2, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору  . Для довільного вектора   із (uk, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.

З кожної із цих чотирьох умов випливають три інших.

ПриміткиРедагувати

Звернемо увагу на те, що якщо a та a' — два вектори з одними і тими ж координатами âk то ǁaa' ǁ = 0 (теорема єдиності).

Джерела інформаціїРедагувати

  1. Корн Г., Корн Т. (1984). 14.7-4. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 

Дивіться такожРедагувати