Загальний вираз для оператора ∇ у ловільній системі координат можна записати так:
∇
∘
A
=
∑
m
i
m
∘
∂
A
∂
r
m
=
i
1
∘
∂
A
∂
r
1
+
i
2
∘
∂
A
∂
r
2
+
i
3
∘
∂
A
∂
r
3
{\displaystyle \nabla \circ \mathbf {A} =\sum _{m}i_{m}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}=i_{1}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{1}}+i_{2}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{2}}+i_{3}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{3}}}
де "
∘
{\displaystyle \circ }
" " - градиент;
" · " - дивергенция;
" × " - ротор. Елементи
∂
r
m
{\displaystyle \partial r_{m}}
d
r
=
∑
m
i
m
∂
r
m
=
i
1
∂
r
1
+
i
2
∂
r
2
+
i
3
∂
r
3
{\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{m}i_{m}\partial r_{m}=i_{1}\partial r_{1}+i_{2}\partial r_{2}+i_{3}\partial r_{3}}
Іншими словами, першою дією є взяття часткової похідної
∂
A
∂
r
m
{\displaystyle {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}}
цілого вектора
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
∂
A
∂
r
m
{\displaystyle {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}}
При цьому достатньо знати вирази:
у циліндричних координатах:
∂
i
ρ
∂
φ
=
i
φ
{\displaystyle {\partial i_{\rho } \over \partial \varphi }=i_{\varphi }}
∂
i
φ
∂
φ
=
−
i
ρ
{\displaystyle {\partial i_{\varphi } \over \partial \varphi }=-i_{\rho }}
у сферичних координатах:
∂
i
r
∂
θ
=
i
θ
{\displaystyle {\partial i_{r} \over \partial \theta }=i_{\theta }}
∂
i
θ
∂
θ
=
−
i
r
{\displaystyle {\partial i_{\theta } \over \partial \theta }=-i_{r}}
∂
i
r
∂
φ
=
i
φ
sin
θ
{\displaystyle {\partial i_{r} \over \partial \varphi }=i_{\varphi }\sin \theta }
∂
i
θ
∂
φ
=
i
φ
cos
θ
{\displaystyle {\partial i_{\theta } \over \partial \varphi }=i_{\varphi }\cos \theta }
∂
i
φ
∂
φ
=
−
i
r
sin
θ
−
i
ϑ
cos
θ
{\displaystyle {\partial i_{\varphi } \over \partial \varphi }=-i_{r}\sin \theta -i_{\vartheta }\cos \theta }
Наприклад, у таблиці, наведеній у статті [1] запис дивергенції у циліндричних координатах отримано наступним чином:
∇
⋅
A
=
i
ρ
⋅
∂
∂
ρ
(
i
ρ
A
ρ
+
i
φ
A
φ
+
i
z
A
z
)
+
1
ρ
i
φ
⋅
∂
∂
φ
(
i
ρ
A
ρ
+
i
φ
A
φ
+
i
z
A
z
)
+
i
z
⋅
∂
∂
z
(
i
ρ
A
ρ
+
i
φ
A
φ
+
i
z
A
z
)
=
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =i_{\rho }\cdot {\partial \over \partial \rho }(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})+{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\partial \over \partial \varphi }(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})+i_{z}\cdot {\partial \over \partial z}(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})=}
=
∂
A
ρ
∂
ρ
+
(
1
ρ
i
φ
⋅
∂
i
ρ
∂
φ
A
ρ
)
+
1
ρ
∂
A
φ
∂
φ
+
∂
A
z
∂
z
=
(
∂
A
ρ
∂
ρ
+
A
ρ
ρ
)
+
1
ρ
∂
A
φ
∂
φ
+
∂
A
z
∂
z
=
{\displaystyle ={\partial A_{\rho } \over \partial \rho }+{\biggl (}{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\partial i_{\rho } \over \partial \varphi }A_{\rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}={\biggl (}{\partial A_{\rho } \over \partial \rho }+{A_{\rho } \over \rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}=}
=
1
ρ
∂
(
ρ
A
ρ
)
∂
ρ
+
1
ρ
∂
A
φ
∂
φ
+
∂
A
z
∂
z
{\displaystyle ={1 \over \rho }{\partial (\rho A_{\rho }) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}}
