Оператор набла у різних системах координат: відмінності між версіями

стаття-список у проекті Вікімедіа
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Немає опису редагування
 
(Не показані 16 проміжних версій 7 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:

== Загальний вираз ==
== Загальний вираз ==
Загальний вираз для оператора ∇ у ловільній системі координат можна записати так:
Загальний вираз для оператора ∇ у довільній системі координат можна записати так:


<math> \nabla \circ\mathbf{A}=\sum_{m}i_m\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}=
<math> \nabla \circ\mathbf{A}=\sum_{m}i_m\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}=
Рядок 7: Рядок 8:


де "<math> \circ</math>" - будь-який з трьох значків, що відповідають дії оператора ∇:
де "<math> \circ</math>" - будь-який з трьох значків, що відповідають дії оператора ∇:
* " " - градиент;
* " " - [[градієнт]];
* " · " - дивергенция;
* " · " - [[дивергенція]];
* " × " - ротор.
* " × " - [[Ротор (математика)|ротор]].
Елементи <math> \partial r_m</math> у цьому записі відповідають елементам радіус-вектора у відповідній системі координат:
Елементи <math> \partial r_m</math> у цьому записі відповідають елементам радіус-вектора у відповідній системі координат:


Рядок 15: Рядок 16:
i_1 \partial r_1+i_2 \partial r_2+i_3 \partial r_3</math>
i_1 \partial r_1+i_2 \partial r_2+i_3 \partial r_3</math>


Іншими словами, першою дією є взяття часткової похідної <math> {\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}</math> за проекцією радіус-вектора від <u>цілого вектора</u> <math> \mathbf{A}</math> (з урахуванням похідних орт у цій системі координат), і лише потім множення (просте для градієнту, скалярне для дивергенції та векторне для ротору) орта напрямку на <math> {\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}</math>.
Іншими словами, першою дією є взяття часткової похідної <math> {\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}</math> за проєкцією радіус-вектора від <u>цілого вектора</u> <math> \mathbf{A}</math> (з урахуванням похідних орт у цій системі координат), і лише потім множення (просте для градієнту, скалярне для дивергенції та векторне для ротору) орта напрямку на <math> {\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}</math>.


При цьому достатньо знати вирази:
При цьому достатньо знати вирази:
* у циліндричних координатах: <math> {\partial i_\rho \over \partial \varphi}=i_\varphi</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_\rho</math>;
* у циліндричних координатах: <math> {\partial i_\rho \over \partial \varphi}=i_\varphi</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_\rho</math>;
* у сферичних координатах: <math> {\partial i_r \over \partial \theta}=i_\theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \theta}=-i_r</math>, <math> {\partial i_r \over \partial \varphi}=i_\varphi \sin \theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \varphi}=i_\varphi \cos \theta</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_r \sin \theta-i_\vartheta \cos \theta</math>.
* у сферичних координатах: <math> {\partial i_r \over \partial \theta}=i_\theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \theta}=-i_r</math>, <math> {\partial i_r \over \partial \varphi}=i_\varphi \sin \theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \varphi}=i_\varphi \cos \theta</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_r \sin \theta-i_\vartheta \cos \theta</math>.
Наприклад, запис дивергенції у циліндричних координатах отримуємо так:
Наприклад, у таблиці, наведеній у статті <ref name=":0">{{Cite web|url=https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%BD%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B0_%D0%B2_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82|title=Оператор набла в различных системах координат|last=|first=|date=|website=|publisher=|language=|accessdate=}}</ref> запис дивергенції у циліндричних координатах отримано наступним чином:


<math> \nabla \cdot\mathbf{A}=i_\rho\cdot {\partial \over \partial \rho}(i_\rho A_\rho
<math> \nabla \cdot\mathbf{A}=i_\rho\cdot {\partial \over \partial \rho}(i_\rho A_\rho
Рядок 37: Рядок 38:
{1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}</math>
{1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}</math>


{{без джерел|дата=червень 2022}}
== Див. також: ==
[[Категорія:Диференціальні оператори]]
<ref name=":0" /> Оператор набла в различных системах координат

Поточна версія на 18:46, 22 липня 2022

Загальний виразРедагувати

Загальний вираз для оператора ∇ у довільній системі координат можна записати так:

 ,

де " " - будь-який з трьох значків, що відповідають дії оператора ∇:

Елементи   у цьому записі відповідають елементам радіус-вектора у відповідній системі координат:

 

Іншими словами, першою дією є взяття часткової похідної   за проєкцією радіус-вектора від цілого вектора   (з урахуванням похідних орт у цій системі координат), і лише потім множення (просте для градієнту, скалярне для дивергенції та векторне для ротору) орта напрямку на  .

При цьому достатньо знати вирази:

  • у циліндричних координатах:   і  ;
  • у сферичних координатах:  ,  ,  ,   і  .

Наприклад, запис дивергенції у циліндричних координатах отримуємо так: