Область цілісності

Версія від 21:55, 1 лютого 2010, створена IhorLviv (обговорення | внесок) (Створена сторінка: '''Область цілісності'''  - поняття абстрактної алгебри: [[асоціати...)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)

Область цілісності  - поняття абстрактної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею, в якому 0≠1 і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова 0≠1 виключає з розгляду тривіальне кільце {0}.

Еквівалентне визначення: область цілісності - це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий ідеал {0} є простим.

Приклади

  • Простий приклад області цілісності - кільце цілих чисел  .
  • Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артинова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
  • Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце   многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце   многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
  • Множина дійсних чисел виду   є підкільцем поля  , і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду  , де   і   цілі.
  • Нехай   - зв'язна відкрита підмножина комплексної площини  . Тоді кільце   всіх голоморфних функцій   буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
  • Якщо   - комутативне кільце, а   - ідеал в  , то фактор-кільце   цілісне тоді і тільки тоді, коли   - простий ідеал.
  • Кільце p-адичних цілих чисел.

Подільність, прості незвідні елементи

Нехай   і   - елементи цілісного кільця  . Говорять, що «  ділить  » або «  - дільник  » (і пишуть  ), якщо і тільки якщо існує елемент   такий, що  .

Подільність транзитивна: якщо   ділить   і   ділить  , то   ділить  . Якщо   ділить   і  , то   ділить також їх суму   і різниця  .

Для кільця   з одиницею елементи  , які ділять 1, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи а і b називаються асоційованими, якщо а ділить b і b ділить а. а і b асоційовані тоді і тільки тоді, коли  , де e - оборотний елемент.

Ненульовий елемент  , що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.

Ненульовий необоротний елемент   називається простим, якщо з того, що  , слідує   або  . Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці  , проте враховує і негативні прості числа. Якщо   - простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал   буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.

Властивості

  • Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
    • Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
  • Якщо   — область цілісності, те кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над   також будуть областями цілісності.
  • Якщо   — комутативне кільце з одиницею і   — деякий ідеал  , то кільце   є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал   є простим.
  • Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
  • Прямий твір кілець ніколи не буває областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
  • Тензорний твір цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
  • Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.

Варіації і узагальнення

Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.

Література

  1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
  2. Iain T. Adamson (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
  3. Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
  4. Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415
  5. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1