Відмінності між версіями «Нерівність Юнга»

[перевірена версія][очікує на перевірку]
м
м
 
(Не показано 2 проміжні версії 2 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Нерівність Юнга''' в математиці формулюється так: для будь яких [[дійсне число|дійсних чисел]] <math>a,b \ge 0</math> і <math>p,q \ge 1</math> таких, що <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1</math> справедливо:
+
'''Нерівність Юнга''' в математиці формулюється так: для будь-яких [[дійсне число|дійсних чисел]] <math>a,b \ge 0</math> і <math>p,q \ge 1</math> таких, що <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1</math> справедливо:
   
 
:<math>ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math>.
 
:<math>ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math>.
Рядок 8: Рядок 8:
 
Для <math>a=0</math> чи <math>b=0</math> нерівність очевидна. Для <math>a>0</math>, <math>b>0</math> нерівність випливає з [[опукла функція|опуклості]] [[Логарифм|логарифмічної функції]]: для будь-яких <math>x_1</math>, <math>x_2>0</math>
 
Для <math>a=0</math> чи <math>b=0</math> нерівність очевидна. Для <math>a>0</math>, <math>b>0</math> нерівність випливає з [[опукла функція|опуклості]] [[Логарифм|логарифмічної функції]]: для будь-яких <math>x_1</math>, <math>x_2>0</math>
   
<math>\ln(\alpha x_1 + \beta x_2) \ge \alpha \ln x_1 + \beta \ln x_2, ~~~ \mathcal{8} \alpha, \beta \ge 0, \alpha + \beta = 1</math>.
+
<math>\ln(\alpha x_1 + \beta x_2) \geqslant \alpha \ln x_1 + \beta \ln x_2, ~~~ \mathcal \alpha, \beta \geqslant 0, \alpha + \beta = 1</math>.
   
 
Взявши в даній нерівності <math> \alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a^{p}, ~ x_2 = b^{p}, </math> одержимо, що
 
Взявши в даній нерівності <math> \alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a^{p}, ~ x_2 = b^{p}, </math> одержимо, що
   
<math>\ln (\frac{a^p}{p} + \frac{b^p}{q}) \ge \frac{\ln a^p}{p}+\frac{\ln b^p}{q}=\ln (a b)</math>,
+
<math>\ln \left (\frac{a^p}{p} + \frac{b^p}{q} \right) \geqslant \frac{\ln a^p}{p}+\frac{\ln b^p}{q}=\ln (a b)</math>,
   
 
:і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.
 
:і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.

Поточна версія на 15:46, 26 квітня 2020

Нерівність Юнга в математиці формулюється так: для будь-яких дійсних чисел і таких, що справедливо:

.

Нерівність названа на честь англійського математика Вільяма Юнга.

ДоведенняРедагувати

Для   чи   нерівність очевидна. Для  ,   нерівність випливає з опуклості логарифмічної функції: для будь-яких  ,  

 .

Взявши в даній нерівності   одержимо, що

 ,

і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати