Відкрити головне меню

Нерівність Коші — Буняковського

Версія від 07:58, 15 липня 2019, створена VictorAnyakin (обговорення | внесок) (Скасовано останні 2 редагування (91.118.102.170) і відновлено версію 22747006 212.90.49.188)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)

Нерівність Коші—Буняковського (Коші-Шварца; англ. Cauchy–Schwarz inequality, англ. Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky inequality) — нерівність, що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору.

Еквівалентно нерівності трикутника для норми в просторі зі скалярним добутком.

Знаходить застосування в лінійній алгебрі для векторів, в математичному аналізі для нескінченних рядів та інтегрування добутків та в теорії ймовірностей при застосуванні до варіації та коваріації.

Нерівність для сум було опубліковано Оґюстеном Коші (1821) (тому цей випадок називають — Нерівність Коші), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована Віктором Буняковським (1859) та вдруге відкрита Германом Шварцем (1888).

ФормулюванняРедагувати

Загальний випадокРедагувати

Для довільних векторів  ,   із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:

 ,

де   — операція скалярного добутку, а   — модуль числа.

Якщо означити норму, то нерівність можна записати як:

 .

Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори  ,   лінійно залежні.

Часткові випадкиРедагувати

Лінійний простір  Редагувати

Скалярний добуток векторів   і   означимо за формулою

 ,

тоді отримаємо, що для дійсних чисел   виконується нерівність

 

у заданій формі нерівність Коші-Буняковського часто використовується на математичних олімпіадах.

Лінійний простір  Редагувати

  — лінійний простір неперервних на відрізку   функцій.

Скалярний добуток для функцій   означимо через

 , то виконуватиметься нерівність

 

ДоведенняРедагувати

Загальний випадокРедагувати

Для довільного   Розглянемо скалярний квадрат вектора  :

 

Отримуємо квадратичну нерівність   для всіх  . Це можливо, тоді і тільки тоді, коли її дискримінант   не більший від нуля.

Звідки отримуємо  .

Частковий випадокРедагувати

Лінійний простір  Редагувати

В лінійному просторі   з введеним скалярним добутком   нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так

 

або після зведення однакових доданків

 

Оскільки ліва чатина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Буняковського в лінійному просторі  

 

Найвідоміші застосування нерівності Коші-БуняковськогоРедагувати

Нерівність трикутникаРедагувати

 

добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника.

Математичні олімпіадиРедагувати

На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору  :

для додатніх дійсних  

 

Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Буняковського, якщо покласти  .

Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:

з нерівностей Коші-Буняковського і трьох квадратів отримуємо:

 

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.

ДжерелаРедагувати

  • Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир. 
  • В. І. Андрійчук, Б. В. Забавський (2008). Лінійна алгебра. Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. ISBN 978-966-613-623-0. 

Дивіться такожРедагувати