Метричний простір

безліч, забезпечене метрикою (функцією відстані)

Метричний простір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначення

Метричним простором називається пара  , яка складається з деякої множини елементів   і відстані  , а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції  , визначеної для  , яка задовільняє наступні 3 аксіоми:

  1.   (аксіома тотожості).
  2.   (аксіома симетрії).
  3.   (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:

 

Приклади метричних просторів

  1. Простір ізольованих точок
     
  2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір  
     
  3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел   з відстанню
     
    називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором  .
  4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел  , але з відстанню
     
    позначимо простором  .
  5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
     
    Цей простір   в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір  .
  6. Множина   всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку   з відстанню
     
  7. Позначимо через   метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності   дійсних чисел, що задовільняють умові:  , а відстань визначається формулою:
     
  8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку  , але відстань визначимо по-іншому, а саме:
     
    Такий метричний простір позначимо   і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
  9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей   дійсних чисел, отримаємо простір   з метрикою:
     
  10. Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
     ,
    де   - будь-яке фіксоване число  . Цей простір позначимо  

Топологія породжена метрикою

Кожна метрика породжує топологію базою, що складається з відкритих куль метричного простору. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.

Приклади

Дивіться також

Література

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.