Метричний простір

безліч, забезпечене метрикою (функцією відстані)

Метричний простір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначення

Метричним простором називається пара  , яка складається з деякої множини елементів   і відстані  , а саме однозначної, невід’ємної, дійсної функції  , визначеної для  , яка задовільняє наступні 3 аксіоми:

  1.   (аксіома тотожості).
  2.   (аксіома симетрії).
  3.   (нерівність трикутника).

Невід’ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:

 

Топологія породжена метрикою

Кожна метрика породжує топологію базою, що складається з відкритих куль метричного простору. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.

Приклади

Дивіться також

Література

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.