Відмінності між версіями «Метричний простір»

безліч, забезпечене метрикою (функцією відстані)
[неперевірена версія][перевірена версія]
 
(Не показано 32 проміжні версії 19 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Метричний простір''' — це пара (<math>X,d</math>), яка складається з деякої [[множина|множини]] <math>X</math> елементів і [[відстань|відстані]] <math>d</math>, визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
'''Метри́чний про́стір'''&nbsp;— це пара (<math>X,d</math>), яка складається з деякої [[множина|множини]] <math>X</math> елементів і [[Метрика (математика)|відстані]] <math>d</math>, визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

== Формальне визначення ==
== Формальне визначення ==
'''Метричним простором''' називається пара <math>(X,\;d)</math>, яка складається з деякої множини елементів <math>\;X</math> і відстані <math>d\colon X\times X\to\R</math>, а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції <math>\;d(x,y)</math>, визначеної для <math>\forall x,y\in X</math>, яка задовільняє наступні 3 аксіоми:
'''Метричним простором''' називається пара <math>(X,\;d)</math>, яка складається з деякої множини елементів <math>\;X</math> і відстані <math>d\colon X\times X\to\R</math>, а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції <math>\;d(x,y)</math>, визначеної для <math>\forall x,y\in X</math>, яка задовольняє такі 3 аксіоми:
# <math>d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y</math> (''аксіома тотожості'').
# <math>d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y</math> (''аксіома тотожності'').
# <math>d(x,\;y)=d(y,\;x)</math> (''аксіома симетрії'').
# <math>d(x,\;y)=d(y,\;x)</math> (''аксіома симетрії'').
# <math>d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)</math> ([[нерівність трикутника]]).
# <math>d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)</math> ([[нерівність трикутника]]).
Невід'ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:
Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:
: <math>0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)</math>
: <math>0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)</math>

== Приклади метричних просторів ==
== Приклади метричних просторів ==
# '''Простір ізольованих точок''' </br> <math>d(x,y) = \begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x \ne\ y \end{cases}</math>
# '''Простір ізольованих точок''' <br/> <math>d(x,y) = \begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x \ne\ y \end{cases}</math>
# Множина дійсних чисел утворює метричний простір '''<math>\mathbb{R}^1</math>''' </br> <math>d(x,\;y) = |x-y|</math>
# Множина дійсних чисел утворює метричний простір '''<math>\R^1</math>''' <br/> <math>d(x,\;y) = |x-y|</math>
# Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> з відстанню </br> <math>d(x,\;y) = \sqrt{\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)^2}</math> </br> називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором '''<math>\mathbb{R}^n</math>'''.
# Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> з відстанню <br/> <math>d(x,\;y) = \sqrt{\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)^2}</math> <br/> називається n-вимірним арифметичним [[евклідів простір|евклідовим простором]] '''<math>\R^n</math>'''.
# Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math>, але з відстанню </br> <math>d_1(x,\;y) = \sum_{k=1}^n |y_k - x_k| </math> </br> позначимо простором '''<math>\mathbb{R}^n_1</math>'''.
# Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math>, але з відстанню <br/> <math>d_1(x,\;y) = \sum_{k=1}^n |y_k - x_k| </math> <br/> позначимо простором '''<math>\R^n_1</math>'''.
# Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою: </br> <math>d_\infty(x,\;y) = \max_{1\leqslant k \leqslant n} |y_k-x_k|</math> </br> Цей простір '''<math>\mathbb{R}^n_\infty</math>''' в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір '''<math>\mathbb{R}^n</math>'''.
# Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою: <br/> <math>d_\infty(x,\;y) = \max_{1\leqslant k \leqslant n} |y_k-x_k|</math> <br/> Цей простір '''<math>\mathbb{R}^n_\infty</math>''' в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідів простір '''<math>\mathbb{R}^n</math>'''.
# Множина <math>C_{[a,b]}</math> всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку <math>[a,b]</math> з відстанню </br> <math>d(f,\;g)= \max_{a \leqslant t \leqslant b}|g(t)-f(t)|</math>
# Множина <math>C_{[a,b]}</math> всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку <math>[a,b]</math> з відстанню <br/> <math>d(f,\;g)= \max_{a \leqslant t \leqslant b}|g(t)-f(t)|</math>
# Позначимо через <math>\mathit{l}_2</math> метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)</math> дійсних чисел, що задовільняють умові: <math>\sum_{k=1}^\infty x_k^2 \leqslant \infty</math>, а відстань визначається формулою: </br> <math>d(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty (y_k-x_k)^2}</math>
# Позначимо через <math>\mathit{l}_2</math> метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)</math> дійсних чисел, що задовольняють умові: <math>\sum_{k=1}^\infty x_k^2 < \infty</math>, а відстань визначається формулою: <br/> <math>d(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty (y_k-x_k)^2}</math>
# Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку <math>[a,b]</math>, але відстань визначимо по-іншому, а саме: </br> <math>d(x,y)=\left (\int_a^b (x(t)-y(t))^2 \right)^{1/2}</math> </br> Такий метричний простір позначимо <math>C_2[a,b]</math> і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
# Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку <math>[a,b]</math>, але відстань визначимо по-іншому, а саме: <br/> <math>d(x,y)=\left (\int_a^b (x(t)-y(t))^2 \right)^{1/2}</math> <br/> Такий метричний простір позначимо <math>C_2[a,b]</math> і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
# Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)</math> дійсних чисел, отримаємо простір <math>\mathit m</math> з метрикою: </br> <math>d(x,\;y)=\sup_{k}|y_k-x_k|</math>
# Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)</math> дійсних чисел, отримаємо простір <math>\mathit m</math> з метрикою: <br/> <math>d(x,\;y)=\sup_{k}|y_k-x_k|</math>
# Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню </br> <math>d(x,\;y)=(\sum_{k=1}^n |y_k-x_k|^p)^{1/p}</math>,</br> де <math>p</math> - будь-яке фіксоване число <math>\geq 1</math>. Цей простір позначимо <math>\mathbb{R}^n_p</math>
# Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню <br/> <math>d(x,\;y)=(\sum_{k=1}^n |y_k-x_k|^p)^{1/p}</math>,<br/> де <math>p</math>&nbsp;— будь-яке фіксоване число <math>\geqslant 1</math>. Цей простір позначимо <math>\mathbb{R}^n_p</math>


== Метричні простори та аксіоми зліченності ==
==Топологія породжена метрикою==
1. Будь-який метричний простір задовольняє [[Перша аксіома зліченності|першу аксіому зліченності]].
Кожна метрика породжує топологію [[База топології|базою]], що складається з [[Відкрита множина|відкритих]] куль метричного простору.
{{Hider|title=Доведення|content=
Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі [[Аксіоми віддільності|аксіоми віддільності]].
Нехай <math>\;a</math> — довільна точка метричного простору <math>\;X</math>, тоді як зліченну визначальну систему околів можна взяти кулі <math> U\left(a,{1 \over n}\right) \equiv \left\{ x \in X| d(a,x)<{\frac 1 n}\right\}, n \in \mathbb{N} </math>. <br> Тоді, для кожної граничної точки знайдеться збіжна послідовність точок із цієї множини.
|hidden=1}}
2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовольняє [[друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]].
{{Hider|title=Доведення|content=
Зліченну базу топології такого простору утворюють, наприклад, такі відкриті кулі: <math>U\left(x_n,{\frac 1 m}\right), n,m\in \N,</math> де <math>{\;x_n}</math> — зліченна скрізь [[щільна множина]], а змінні <math>m,\;n</math> пробігають всі натуральні числа незалежно одна від одної.
|hidden=1}}


== Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність ==
== Приклади ==
Будь-який метричний простір є [[топологічний простір|топологічним простором]], тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природним чином поширити на метричні простори.
* [[Відстань Хаусдорфа]]


Для будь-якої точки <math>\;x</math> метричного простору <math>\;X</math> визначимо [[відкрита множина|відкриту]] кулю радіуса <math>\;r>0</math> з центром в точці <math>\;x</math>, як множину <math>B(x,r)\equiv\{y\in X|d(x,y)<r\}</math>. Такі відкриті кулі породжують топологію на <math>\;X</math>, а отже й топологічний простір. Породжена топологія задовольняє багатьом умовам, наприклад всім [[аксіоми віддільності|аксіомам віддільності]].
== Дивіться також ==

Підмножина <math>\;U</math> метричного простору <math>\;X</math> називається відкритою, якщо <math> \forall x\in U \;\exists r>0 </math>, такий що <math>B(x,r) \subset U.</math> Доповненням до відкритої множини називається [[замкнута множина]]. Околом точки <math>x \in X</math> називається будь-яка відкрита підмножина <math>\;X</math>, що містить <math>\;x</math>.

Послідовність <math>\{\;x_n\}</math> метричного простору <math>\;X</math> називається збіжною до границі <math>x \in X</math> тоді і тільки тоді, коли <math>\forall \epsilon>0 \;\exists N\in \N \;\forall n>N \;d(x_n,x) < \epsilon.</math> Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина <math>\;A</math> метричного простору <math>\;X</math> замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність <math>\;A</math> збіжна в <math>\;X</math> і має границю, що належить <math>\;A</math>.

== Гомеоморфізм. Ізоморфізм ==
Якщо відображення <math>\;f:X \to Y</math> взаємно однозначне, то існує обернене відображення <math>\;x=f^{-1}(y)</math> простору <math>\;Y</math> на простір <math>\;X</math>. Якщо відображення <math>\;f</math> взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори <math>\;X</math> та <math>\;Y</math>, між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція <math>\;f</math> між метричними просторами <math>(X,\;d_1)</math> і <math>(Y,\;d_2)</math> є ізометрією, якщо <math>d_1(x_1,x_2)=d_2(f(x_1),f(x_2))\; \forall x_1,x_2 \in \R</math>. Простори <math>\;X</math> і <math>\;Y</math>, між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їхніми елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їхніх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

== Типи метричних просторів ==

=== Повні простори ===
[[Повний метричний простір|Метричний простір називається повним]], якщо у ньому будь-яка [[фундаментальна послідовність]] є збіжною до елемента цього простору:
<math> \forall \varepsilon>0, \exists N\in\N, \forall n>N, \forall m>N: d(x_n,x_m) <\varepsilon </math>.

Будь-який [[евклідів простір]], як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине (з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді [[Щільна множина|щільної підмножини]].

Якщо <math>\;X</math> повна підмножина метричного простору <math>\;M</math>, то <math>\;X</math> є замкненим в <math>\;M</math>. Дійсно, простір <math>\;X\subset M</math> є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі <math>\;M</math>.

Якщо <math>\;(X,d)</math>&nbsp;— повний метричний простір, то <math>\;X</math> є множиною [[Теорія категорій|другої категорії]] ([[:en:Baire_category_theorem|англ.]]).

== Див. також ==
* [[Повний метричний простір]]
* [[Повний метричний простір]]
* [[Нормований простір]]
* [[Нормований простір]]
*[[Неархімедова метрика]]
* [[Неархімедова метрика]]
* [[Відстань Хаусдорфа]]


== Література ==
== Література ==
Рядок 67: Рядок 105:


[[Категорія:Метрична геометрія|*]]
[[Категорія:Метрична геометрія|*]]
[[Категорія:Математичні структури]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Простір]]

[[ar:فضاء متري]]
[[bg:Метрично пространство]]
[[ca:Espai mètric]]
[[cs:Metrický prostor]]
[[cy:Gofod metrig]]
[[da:Metrisk rum]]
[[de:Metrischer Raum]]
[[el:Μετρικός χώρος]]
[[en:Metric space]]
[[eo:Metrika spaco]]
[[es:Espacio métrico]]
[[et:Meetriline ruum]]
[[fa:فضای متری]]
[[fi:Metrinen avaruus]]
[[fr:Espace métrique]]
[[he:מרחב מטרי]]
[[hu:Metrikus tér]]
[[is:Firðrúm]]
[[it:Spazio metrico]]
[[ja:距離空間]]
[[ka:მეტრიკული სივრცე]]
[[ko:거리공간]]
[[lt:Metrinė erdvė]]
[[mk:Метрички простор]]
[[nl:Metrische ruimte]]
[[no:Metrisk rom]]
[[pl:Przestrzeń metryczna]]
[[pms:Spassi métrich]]
[[pt:Espaço métrico]]
[[ro:Spațiu metric]]
[[ru:Метрическое пространство]]
[[sk:Metrický priestor]]
[[sl:Metrični prostor]]
[[sr:Метрички простор]]
[[sv:Metriskt rum]]
[[tr:Metrik uzay]]
[[ur:بحر فضا]]
[[vi:Không gian mêtric]]
[[zh:度量空间]]
[[zh-classical:度量空間]]

Поточна версія на 12:32, 26 листопада 2020

Метри́чний про́стір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначенняРедагувати

Метричним простором називається пара  , яка складається з деякої множини елементів   і відстані  , а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції  , визначеної для  , яка задовольняє такі 3 аксіоми:

  1.   (аксіома тотожності).
  2.   (аксіома симетрії).
  3.   (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:

 

Приклади метричних просторівРедагувати

  1. Простір ізольованих точок
     
  2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір  
     
  3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел   з відстанню
     
    називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором  .
  4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел  , але з відстанню
     
    позначимо простором  .
  5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
     
    Цей простір   в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідів простір  .
  6. Множина   всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку   з відстанню
     
  7. Позначимо через   метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності   дійсних чисел, що задовольняють умові:  , а відстань визначається формулою:
     
  8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку  , але відстань визначимо по-іншому, а саме:
     
    Такий метричний простір позначимо   і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
  9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей   дійсних чисел, отримаємо простір   з метрикою:
     
  10. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
     ,
    де   — будь-яке фіксоване число  . Цей простір позначимо  

Метричні простори та аксіоми зліченностіРедагувати

1. Будь-який метричний простір задовольняє першу аксіому зліченності.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовольняє другу аксіому зліченності.

Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжністьРедагувати

Будь-який метричний простір є топологічним простором, тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природним чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки   метричного простору   визначимо відкриту кулю радіуса   з центром в точці  , як множину  . Такі відкриті кулі породжують топологію на  , а отже й топологічний простір. Породжена топологія задовольняє багатьом умовам, наприклад всім аксіомам віддільності.

Підмножина   метричного простору   називається відкритою, якщо  , такий що   Доповненням до відкритої множини називається замкнута множина. Околом точки   називається будь-яка відкрита підмножина  , що містить  .

Послідовність   метричного простору   називається збіжною до границі   тоді і тільки тоді, коли   Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина   метричного простору   замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність   збіжна в   і має границю, що належить  .

Гомеоморфізм. ІзоморфізмРедагувати

Якщо відображення   взаємно однозначне, то існує обернене відображення   простору   на простір  . Якщо відображення   взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори   та  , між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція   між метричними просторами   і   є ізометрією, якщо  . Простори   і  , між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їхніми елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їхніх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Типи метричних просторівРедагувати

Повні просториРедагувати

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною до елемента цього простору:  .

Будь-який евклідів простір, як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине (з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді щільної підмножини.

Якщо   повна підмножина метричного простору  , то   є замкненим в  . Дійсно, простір   є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі  .

Якщо   — повний метричний простір, то   є множиною другої категорії (англ.).

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.