Метрика простору-часу - 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальній теорії відносності.

Схематичне двовимірне зображеня викривлення простору-часу біля масивного тіла

Позначається здебільшого .

В інерційній системі відліку матриця простору часу має вигляд

.

В неінерційних системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і загалом залежить від точки простору і моменту часу.

Метрика простору-часу задає викривлення простору, яке відчуває спостерігач, що рухається з прискоренням. Оскільки за принципом еквівалентності спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерційність зв'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в полі масивних тіл.

Просторово-часовий інтервал виражається через метрику простору-часу формулою

.

Оскільки метрика задає перетворення координат, то її називають також метричним тензором.

Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними і контраваріантними записами будь-якого 4-вектора

.

Властивості

Метричний тензор симетричний відносно своїх індексів, тобто  . Це видно із загальної формули для квадрату диференціалу просторово-часового інтрервалу. Детермінант метрики простору часу, який позначається g, від'ємний.

Контраваріантна форма метричного тензора зв'язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора четвертого порядку

 ,

де   - звичайний повністю антисиметричний тензор, визначений в інерційній системі відліку, тобто тензор, компоненти якого дорівнюють 1 або -1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів.

Таким чином

 

Метричний тензор, як будь-який симетричний тензор, можна вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Проте ця операція справедлива лише в певній точці простору-часу, і, в загальному випадаку, не може буде проведена для всього простору-часу.

Власний час

Квадрат диференціалу просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює

 .

Величину

 

називають власним часом для даної точки простору.

Просторовий інтервал

Квадрат віддалі між двома нескінченно близькими точками задається формулою

 

Грецькі індекси використовуються тоді, коли підсумовування ведеться лише по просторових координатах. Тензор   є метричним тензором для тривимірного простору.

Інтегрувати визначену таким чином віддаль не можна, оскільки результат залежав би від світової лінії, по якій велося б інтегрування. Таким чином, у загальній теорії відносності поняття віддалі між далекими об'єктами в тривимірному просторі втрачає сенс. Єдине виключення - ситуація, в якій метричний тензор   не залежить від часу.

Джерела

  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука.