Метрика простору-часу - 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальній теорії відносності.

Схематичне двовимірне зображеня викривлення простору-часу біля масивного тіла

Позначається здебільшого .

В інерційній системі відліку матриця простору часу має вигляд

.

В неінерційних системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і загалом залежить від точки простору і моменту часу.

Метрика простору-часу задає викривлення простору, яке відчуває спостерігач, що рухається з прискоренням. Оскільки за принципом еквівалентності спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерційність зв'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в полі масивних тіл.

Просторово-часовий інтервал виражається через метрику простору-часу формулою

.

Оскільки метрика задає перетворення координат, то її називають також метричним тензором.

Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними і контраваріантними записами будь-якого 4-вектора

.

Властивості

Метричний тензор симетричний відносно своїх індексів, тобто  . Це видно із загальної формули для квадрату диференціалу просторово-часового інтрервалу. Детермінант метрики простору часу, який позначається g, від'ємний.

Контраваріантна форма метричного тензора зв'язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора четвертого порядку

 ,

де   - звичайний повністю антисиметричний тензор, визначений в інерційній системі відліку, тобто тензор, компоненти якого дорівнюють 1 або -1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів.

Таким чином

 

Метричний тензор, як будь-який симетричний тензор, можна вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Проте ця операція справедлива лише в певній точці простору-часу, і, в загальному випадаку, не може буде проведена для всього простору-часу.

Власний час

Квадрат диференціалу просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює

 .

Величину

 

називають власним часом для даної точки простору.

Джерела

  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука.