Відкрити головне меню

Матрицею переходу або матрицею перетворення в -мірному просторі від базису до базису є квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів в базисі .

Позначається

Зміст

ЗастосуванняРедагувати

Матриці дозволяють будь-яке лінійне відображення представити у зручному для обчислень форматі.[1] Це також дозволяє легше поєднати декілька перетворень (помноживши їхні матриці).

Лінійне відображення не єдине, яке можна представити за допомогою матриць. Деякі перетворення що не є лінійними або є n-вимірними в Евклідовому просторі Rn, можуть бути представлені як лінійне перетворення у просторі розмірністю n+1 - Rn+1. В такому випадку вона включатиме як Афінні перетворення (такі як переміщення) і проективні перетворення. Тому, матриці перетворення 4×4 широко використовуються у застосуваннях тривимірної комп'ютерної графіки. Ці n+1-вимірні матриці перетворення називаються по різному в залежності від області їх застосування, афінні матриці перетворення, проективні матриці перетворення, або в більш загальному варіанті матриці не лінійного перетворення. По відношенню до n-вимірної матриці, матриця розмірністюn+1- може вважатися розширеною матрицею.

ПредставленняРедагувати

Оскільки

 
 
 .
 

Матриця переходу це  

При множенні справа вектора з лінійної оболонки базису   на матрицю переходу ми отримуємо той самий вектор, виражений через базис  .

Матриці переходу дозволяють виразити лінійні перетворення у форматі зручному для обчислень. Послідовності перетворень можуть бути обчислені шляхом перемноження матриць.

Для лінійних відображень не обов'язково щоб базиси належали одному простору чи, щоб простори мали однакову розмірність. В такому випадку матриця стає прямокутною.

В однорідній системі координат, афінні перетворення та перспективні проекції в   можуть бути представлені як лінійні перетворення в  . Через це, матриці перетворення 4x4 широко використовуються в тривимірній графіці.

Побудова матриці переходуРедагувати

Маючи лінійне перетворення   в функціональній формі, можемо визначити матрицю переходу A, перетворюючи кожний вектор базису за допомогою T, потім вставляємо результати в стовпці матриці. Інакше кажучи,

 

Наприклад, функція   являє собою лінійне перетворення. Застосувавши описаний процес, отримаємо

 

Приклади перетворень на площиніРедагувати

ОбертанняРедагувати

Функціональна форма запису обертання на кут θ проти годинникової стрілки відносно початку координат

 

в матричній формі, це матриця повороту:

 

МасштабуванняРедагувати

Функціональна форма масштабування:

 .

В матричній формі — діагональна матриця:

 

Коли  , тоді зберігається площа.

ЗсувРедагувати

У випадку зсуву (shear) можливі два варіанти. Зсув по осі x   і  ; тоді матриця зсуву має вигляд:

 

Зсув по осі y   and  , в цьому випадку:

 

ВідбиттяРедагувати

Для відбиття вектора від лінії яка проходить через початок координат, нехай (lx, ly) вектор, що лежить лінії:

Матриця Хаусхолдера:

 

Відбиття відносно лінії яка не проходить через початок координат не є лінійним перетворенням; це перетворення афінне.

Для відбиття точки відносно площини   можна використати рівняння  . Де I одинична матриця і N одиничний вектор нормалі до площини. Матриця перетворення буде мати вигляд:

 

Врахуйте, що такий підхід працює лише якщо площина проходить через початок координат: якщо ні, потрібне афінне перетворення.

Ортогональна проекціяРедагувати

Для проекціонування вектора ортогонально на лінію яка проходить через початок координат, позначимо як (ux, uy) вектор, що лежить на лінії. Тоді використовуємо наступну матрицю:

 

Як і з відбиттям, ортогональна проекція на лінію яка не проходить через початок координат є афінним перетворенням, а не лінійним.

Композиція і відкат перетвореньРедагувати

Одна з головних причин використання матриць для представлення лінійних перетворень це те, що перетворення можуть бути легко зкомпоновані і "відкочені".

Ефект композиції досягається шляхом матричного добутку. Якщо A та B матриці двох лінійних перетворень, тоді:

 

Іншими словами матриця композиції перетворень A і B це просто добуток окремих матриць перетворень. Зверніть увагу на порядок множників у добутку.

Обернена матриця A-1 представляє перетворення, яке "відкочує" A.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Gentle, James E. (2007). Matrix Transformations and Factorizations. Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics. Springer. ISBN 9780387708737. 

ПосиланняРедагувати