Перегляд вихідного коду сторінки Математичний аналіз

{{Calculus}}
'''Математи́чний ана́ліз'''&nbsp;— фундаментальний розділ [[математика|математики]], що веде свій відлік від [[XVII століття]], коли було строго сформульовано теорію [[нескінченно мала величина|нескінченно малих]].<ref>{{УРЕ}}, т. '''1''', ''Аналіз математичний''</ref> Сучасний математичний аналіз охоплює також [[Теорія функцій|теорію функцій]], теорії [[границя|границь]] і [[Ряд (математика)|рядів]], [[диференційне числення|диференційне]] та [[інтегральне числення]], [[диференціальні рівняння]] та [[Диференціальна геометрія|диференціальну геометрію]]. Математичний аналіз постав визначною віхою в історії науки і сформував обличчя сучасної математики. Аналіз швидко перетворився на надзвичайно потужний інструмент для дослідників [[Природничі науки|природничих наук]], а також став одним із рушіїв [[Науково-технічна революція|науково-технічної революції]].

Наступним витком у розвитку математичного аналізу став сформований на початку [[XX століття]] '''[[функціональний аналіз]]'''. Якщо класичний аналіз вважає [[Змінна|змінну]] ''числом''&nbsp;— тобто елементом із множини [[дійсні числа|дійсних]] (або [[комплексні числа|комплексних]]) чисел, то в функціональному аналізі вже сама функція розглядається як ''змінна''. Одночасно вводиться поняття [[функціонал]]у&nbsp;— узагальненої функції, що може приймати іншу функцію як аргумент (функція від функції). У сучасному формулюванні, функціональний аналіз є застосуванням теорії аналізу до довільного [[Багатовимірний простір|простору]] математичних об'єктів, в якому можливо визначити поняття ''близькості'' ([[топологічний простір]]), або ж ''відстані'' ([[метричний простір]]) між об'єктами.<ref>Александров А. Д., Колмогоров А. Н., Лаврентьев М. А. ''Математика, её содержание, методы и значение. т. 1.''&nbsp;— Видавництво Академії наук СРСР, 1956 {{ref-ru}}</ref>

== Історія виникнення ==
[[Файл:Archimedes pi.svg|thumb|right|300px|[[Архімед]] використовував [[метод вичерпування]] для розрахунку [[площі]] обмеженої колом, за допомогою розрахунку площі [[Правильний багатокутник|правильного багатокутника]] все з більшою і більшою кількістю сторін. Це був один із давніх неформальний приклад [[Границя|границі]], що є одним із основних понять математичного аналізу.]]

В історії математики можна умовно виділити два основні періоди: [[елементарна математика|елементарної]] та сучасної математики. Межею, від якої ведеться відлік епохи нової (іноді&nbsp;— вищої) математики, стало [[XVII століття]]. Саме в XVII столітті з'явився математичний аналіз. Предтечами його було числення нескінченно малих в роботах [[Джон Валліс|Валліса]], [[Джеймс Грегорі|Грегорі]], [[Ісаак Барроу|Барроу]].

До кінця XVII&nbsp;ст. [[Ісаак Ньютон|Ісааком Ньютоном]], [[Лейбніц Готфрід Вільгельм|Готфрідом Лейбніцом]] було створено апарат диференційного та інтегрального числення, що становить основу математичного аналізу і навіть математичну основу всього сучасного [[природознавство|природознавства]].

[[Рух]], змінні величини і їхній взаємозв'язок оточують нас усюди. Різні види руху, їхні закономірності становлять основний об'єкт вивчення конкретних наук: [[фізика|фізики]], [[геологія|геології]], [[біологія|біології]], [[соціологія|соціології]] тощо. Точна мова і відповідні математичні методи опису і вивчення таких величин виявилися необхідними в усіх областях знань приблизно як числа й [[арифметика]] необхідні для опису кількісних співвідношень. Тому математичний аналіз став основою мови і математичних методів опису змінних величин та зв'язків між ними. В наші дні без математичного аналізу неможливо було б не тільки розрахувати космічні [[траєкторія|траєкторії]], роботу [[ядерний реактор|ядерних реакторів]], закономірності розвитку [[циклон]]у, а й ефективно керувати [[виробництво]]м, розподілом ресурсів, організацією технологічних процесів, бо все це&nbsp;— динамічні процеси.

Елементарна математика була переважно математикою постійних величин, вона вивчала головним чином співвідношення між елементами [[геометрична фігура|геометричних фігур]], арифметичні властивості [[число|чисел]] і [[алгебраїчні рівняння]].

Наприкінці XVII століття навколо [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніца]] виникає гурток, найвідомішими представниками якого були брати [[Бернуллі]], і [[Гійом де Лопіталь|Лопіталь]]. В 1696, використовуючи лекції Й. Бернуллі, Лопіталь написав перший підручник, що викладав новий метод у використанні до теорії плоских [[крива|кривих]]. Він назвав його Аналізом нескінченно малих, даючи тим самим і одну з назв новому розділу в математиці. В основу викладення покладений термін змінних величин, між якими існує певний зв'язок, через який зміна одної тягне за собою зміну іншої. У Лопіталя цей зв'язок дається за допомогою плоских кривих: якщо <math>M</math>&nbsp;— рухома точка плоскої кривої, то її [[Декартова система координат|декартові координати]] <math>x</math> та <math>y</math>, що мають назви діаметр та ордината кривої, змінні, при чому зміна <math>x</math> спричинює зміну <math>y</math>.

=== Передумови появи математичного аналізу ===
До кінця XVII&nbsp;ст. склалася ситуація коли в математиці було накопичено знання про розв'язки деяких важливих класів [[задача (математика)|задач]] (наприклад, задачі про обчислення [[площа|площ]] і [[об'єм]]ів нестандартних фігур, задача проведення [[дотична|дотичних]] до [[крива|кривих]]), а також з'явилися методи розв'язання різних часткових випадків. Виявилося, що ці задачі тісно пов'язані з задачами опису деякого (не обов'язково [[рівномірний рух|рівномірного]]) [[механічний рух|механічного руху]], й зокрема обчислення його миттєвих характеристик ([[швидкість|швидкості]], [[прискорення]] в будь-який момент часу), а також знаходження пройденого [[шлях (фізика)|шляху]] при русі, що відбувається з заданою змінною швидкістю. Розв'язок цих задач був необхідним для подальшого розвитку [[фізика|фізики]], [[астрономія|астрономії]], [[техніка|техніки]]. До середини XVII&nbsp;ст. в працях [[Рене Декарт]]а і [[П'єр Ферма|П'єра Ферма]] було закладено основи аналітичного методу координат (так званої [[аналітична геометрія|аналітичної геометрії]]), які дозволили сформулювати різноманітні за своїм походженням геометричні і фізичні задачі загальною мовою чисел і числових залежностей (числових функцій).

Всі ці обставини призвели до того, що наприкінці XVII&nbsp;ст. двом ученим [[Ісаак Ньютон|Ісааку Ньютону]] і [[Лейбніц Готфрід Вільгельм|Готфріду Лейбніцу]], незалежно один від одного, вдалося створити [[математичний апарат]] для розв'язку вказаних задач. У своїх працях ці вчені зібрали й узагальнили окремі результати попередників починаючи від [[Архімед]]а і закінчуючи своїми сучасниками, такими як: [[Бонавентура Кавальєрі]], [[Блез Паскаль]], [[Джеймс Грегорі]], [[Ісаак Барроу]]. Цей апарат і склав основу математичного аналізу&nbsp;— нового розділу математики, який вивчає різні динамічні процеси, тобто взаємозв'язки змінних величин, які математики називають функціональними залежностями чи функціями.

=== Віхи розвитку математичного аналізу ===
[[Файл:Attracteur étrange de Lorenz.png|thumb|uptight=1.2|[[Атрактор|Дивний атрактор]], що виникає із [[Диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]]. Диференціальні рівняння є важливою областю математичного аналізу, що мають застосування у [[Наука|науці]] і [[Інженерія|інженерії]].]]
Поняття функції запровадив у XVIII&nbsp;ст. [[Леонард Ейлер]]<ref name="function">{{cite book| last = Dunham| first = William| title = Euler: The Master of Us All| year = 1999| publisher =The Mathematical Association of America | pages = 17}}</ref>. Упродовж XVIII&nbsp;ст. були розвинуті різноманітні методи аналізу, що збагатили [[диференціальне числення|диференціальне]] та [[інтегральне числення]]: [[варіаційне числення]], [[числові ряди|теорія рядів]], теорія [[звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]].

[[Аналіз функцій дійсної змінної]] почав набирати ознак окремого розділу математики, коли [[Бернард Больцано]] дав сучасне означення [[неперервна функція|неперервності]] у [[1816]]<ref>{{cite book |first=Roger |last=Cooke |authorlink=Roger Cooke |title=The History of Mathematics: A Brief Course |publisher=Wiley-Interscience |year=1997 |isbn=0471180823 |pages=[https://archive.org/details/historyofmathema0000cook/page/379 379] |chapter=Beyond the Calculus |quote=Дійсний аналіз переріс у окрему дисципліну із запровадження сучасного означення [[неперервна функція|неперервності]] у 1816 чеським математиком Бернардом Больцано  (1781-1848) |url=https://archive.org/details/historyofmathema0000cook/page/379 }}</ref>, хоча роботи Больцано не отримали широкої відомості до 1870-их. З 1821 [[Огюстен Коші]] почав формувати міцне логічне підґрунтя під математичним аналізом, формулюючи його через поняття [[нескінченно мала величина|нескінченно малих]]. Йому також належать поняття [[фундаментальна послідовність|фундаментальної послідовності]] і основи [[Комплексний аналіз|аналізу комплексної змінної]]. [[Пуасон|Симеон Пуасон]], [[Ліувіль|Жозеф Ліувіль]], [[Жозеф Фур'є]] та інші вивчали [[диференціальні рівняння]] і [[гармонічний аналіз]]. Завдяки внеску цих та інших математиків, таких як [[Карл Веєрштрас]] розвинувся епсилонний підхід, який є основою сучасного математичного аналізу. Зразком такого підходу є означення [[границя функції|границі функції]] через <math> \varepsilon </math> та <math> \delta </math>.

Усередині [[XIX століття]] [[Бернгард Ріман]] розвинув теорію [[інтеграл|інтегрування]]. Надалі математиків почало бентежити те, що вони припускають існування [[Континуум (теорія множин)|континууму]] [[дійсне число|дійсних чисел]] без [[Математичний доказ|доказу]]. Розв'язуючи цю проблему, [[Ріхард Дедекінд]] сконструював означення [[ірраціональне число|ірраціонального числа]] як [[переріз Дедекінда]], таким чином заповнивши «прогалини» в [[раціональне число|раціональних числах]] і утворивши [[повний метричний простір]]: континуум дійсних чисел. Приблизно тоді ж спроби уточнити теореми [[інтеграл Рімана|інтегрування за Ріманом]] призвели до вивчення розривів дійсних функцій.

Почали виникати математичні чудовиська, такі як ніде не неперервна [[функція Діріхле]], неперервна, але ніде не [[диференційовна функція|диференційовна]] [[функція Веєрштраса]], [[крива|криві]], що повністю заповнюють площину на кшталт [[крива Пеано|кривої Пеано]]. Розв'язуючи проблеми з такими функціями, [[Каміль Жордан]] побудував теорію [[міра Жордана|міри Жордана]], а [[Георг Кантор]] розвинув [[інтуїтивна теорія множин|інтуїтивну теорію множин]]. На початку [[20 століття]] математичний аналіз був формалізований [[теорія множин|теорією множин]]. [[Анрі Лебег]] розв'язав проблему [[Міра Лебега|міри]], а [[Давид Гільберт]] запровадив [[гільбертів простір]]. Виникла ідея [[нормований векторний простір|нормованого векторного простору]], і в [[1920-ті|1920-их]] [[Стефан Банах]] започаткував [[функціональний аналіз]].

== Основні розділи ==

=== Аналіз функцій дійсної змінної ===
{{Main|Аналіз функцій дійсної змінної}}
'''Аналіз функцій дійсної змінної''' це галузь математичного аналізу, що займається [[Дійсні числа|дійсними числами]] і функціями дійсної змінної.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=Walter |authorlink=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref><ref>{{cite book |last=Abbott |first=Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |isbn=0-387-95060-5 |year=2001 |location=New York |publisher=Springer-Verlag}}</ref> Зокрема, вона вивчає аналітичні властивості дійсних [[Функція (математика)|функцій]] і [[Послідовність|послідовностей]], включаючи [[Границя числової послідовності|збіжність]] і [[Границя функції в точці|границі]] послідовностей дійсних чисел, [[Диференціальне та інтегральне числення|числення]] дійсних чисел і такі властивості функцій дійсних змінник як [[Неперервна функція|неперервність]], [[Гладка функція|гладкість]] і інші пов'язані властивості.

Основними операціями над дійсними функціями дійсної змінної є [[Диференціювання (математика)|диференціювання]] й [[інтегрування]]. Ці операції дозволяють отримати [[Похідна|похідні]] та [[Первісна|первісні]]. Похідна характеризує швидкість зміни функції в залежності від аргументу, а інтегрування є узагальненням поняття суми на множини з нескінченим числом елементів.

=== Комплексний аналіз ===
{{Main|Комплексний аналіз}}

'''Комплексний аналіз''', традиційно відомий як '''теорія функцій комплексної змінної'''&nbsp;— це галузь математичного аналізу яка досліджує [[Функція (математика)|функції]] [[Комплексне число|комплексних чисел]].<ref>{{cite book |last=Ahlfors |first=L. |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex Analysis |location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=3rd |year=1979 |isbn=0-07-000657-1 |pages= |url=https://books.google.com/books?id=2MRuus-5GGoC }}</ref> Він є корисним у багатьох інших галузях математики, таких як [[алгебрична геометрія]], [[теорія чисел]], [[прикладна математика]]; а також у [[Фізика|фізиці]], включаючи такі її розділи як [[гідродинаміка]], [[термодинаміка]], [[машинобудування]], [[електротехніка]] та [[електродинаміка]], [[квантова механіка]] і зокрема, [[Квантова теорія поля|квантову теорію поля]].

Комплексний аналіз зокрема вивчає [[Аналітична функція|аналітичні функції]] комплексних змінних (або, у більш загальному випадку, [[Мероморфна функція|мероморфні функції]]). Через те, що окремі [[дійсні числа|дійсна]] і [[Уявне число|уявна]] частини будь-якої аналітичної функції повинні задовольняти [[Рівняння Лапласа]], комплексний аналіз широко застосовується для розв'язку двовимірних задач у фізиці.

=== Функціональний аналіз ===
{{Main|Функціональний аналіз}}
'''Функціональний аналіз''' це галузь математичного аналізу в основі якої є вивчення [[Векторний простір|векторних просторів]], що мають деяку структуру, що має відношення до границі (тобто внутрішній добуток, [[Норма (математика)|норма]], [[Топологічний простір|топологія]], та ін.) і в цих просторах [[Лінійне відображення|лінійне перетворення]] поводить себе стосовно до цих структур у відповідному сенсі.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=W. |authorlink=Walter Rudin |title=Functional Analysis |location= |publisher=McGraw-Hill Science |year=1991 |isbn=0-07-054236-8 |url=https://books.google.com/books?id=Sh_vAAAAMAAJ }}</ref><ref>{{cite book |last=Conway |first=J. B. |authorlink=John B. Conway |title=A Course in Functional Analysis |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |year=1994 |isbn=0-387-97245-5 |url=https://books.google.com/books?id=ix4P1e6AkeIC }}</ref> Історично функціональний аналіз бере початок із вивчення просторів функцій і формулювання властивостей перетворень функцій таких як [[Перетворення Фур'є]], що визначає [[Неперервна функція|неперервність]], [[Унітарний оператор|унітарність]] та інші властивості операторів перетворення між функціональними просторами. Ця точка вивчення виявилася особливо корисною при вивченні [[Диференціальні рівняння|диференціальних]] та [[Інтегральне рівняння|інтегральних рівнянь]].

=== Диференціальні рівняння ===
{{Main|Диференціальні рівняння}}
{{Розширити розділ|дата=квітень 2012}}
Закони тих областей науки, що використовують математичний опис, часто формулюються так, що включають не тільки самі змінні, а й їхні похідні. Наприклад, основний закон класичної механіки&nbsp;— [[другий закон Ньютона]], задає зв'язок між зміною швидкості матеріальної точки та силами, які діють на цю точку. Тоді в рівняннях, що описують такі закони, фігурують не тільки невідомі функції, а й похідні невідомих функцій. Виникають диференціальні рівняння, вивченню яких присвячений окремий розділ математики.

Диференціальні рівняння нечасто мають аналітичні розв'язки. Вивчення рівнянь, що зустрічаються, дуже часто призвело до розширення класу відомих функцій за рахунок функцій, які називають [[Спеціальні функції|спеціальними]]. Утім диференціальні рівняння можна розв'язувати чисельно, тоді особливого значення набувають знання про загальні властивості розв'язків&nbsp;— доказ існування та стійкості.

=== Теорія міри ===
{{Main|Міра множини}}
{{Розширити розділ|дата=квітень 2012}}
Поняття міри є узагальненнням таких числових характеристик множин, як евклідова [[довжина]], [[площа]] плоских фігур та <math>n</math>-вимірний [[об'єм]] для загальніших просторів. Ці характеристики застосовуються в різних просторах для різних класів множин, але при цьому мають спільні властивості:
# вони невід'ємні
# об'єднання двох неперетинних множин дорівнює сумі цих множин.

Замість окремого вивчення довжини, площі, об'єму теорія міри досліджує загальну числову функцію множин&nbsp;— [[Міра множини|міру]], що визначена на певному абстрактному наборі множин і задовільняє дві вказані вище властивості.<ref>{{книга
 |автор          = [[Радченко Вадим Миколайович|В. М. Радченко]]
 |заголовок      = Теорія міри та інтеграла : навчальний посібник
 |посилання      = http://mmtest.univ.kiev.ua/dload/pos/MeasureTheoryRadchenko%20(size%20A5).pdf
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    =  ВПЦ «Київський університет»
 |рік            = 2012
 |том            = 
 |сторінок       = 143
 |сторінки       = 
 |isbn           = 978-966-439-520-2 
 |ref            =
}}</ref>

=== Чисельні методи ===
{{Main|Чисельні методи}}
'''Чисельні методи'''&nbsp;— це розділ математики, що вивчає [[алгоритм]]и, які застосовують чисельне [[Апроксимація|наближення]] (що є протилежним до загальних [[Символьні обчислення|символьні обчислення]]) для розв'язання задач математичного аналізу, що відрізняє їх від [[Дискретна математика|дискретної математики]].<ref>{{cite book |last=Hildebrand |first=F. B. | authorlink=Francis B. Hildebrand | title=Introduction to Numerical Analysis | edition=2nd |year=1974 |publisher=McGraw-Hill |location= |isbn= 0-07-028761-9}}</ref>

{{Розширити розділ|дата=квітень 2012}}

== Викладання математичного аналізу у вищій школі ==
Математичний аналіз входить у загальний курс [[вища математика|вищої математики]] в більшості технічних вишів України поряд із іншими розділами математики, такими як [[аналітична геометрія]], [[диференціальні рівняння|теорія диференціальних рівнянь]], [[теорія ймовірностей]] тощо. Для тих спеціальностей, що потребують підвищеного вміння користуватися математичним апаратом, наприклад для [[фізика|фізиків]], математичний аналіз викладається окремим курсом.

Обсяг матеріалу включає:
* поняття про [[числова послідовність|числову послідовність]] та її властивості:
** [[Границя|збіжність]],
** [[границя числової послідовності|границю числової послідовності]]
** монотонність послідовностей,
** часткова границя послідовності, верхня та нижня границя послідовності
* теорію функцій дійсної змінної, включно з
** поняттям про [[границя функції|границю функції]], [[неперервна функція|неперервність]];
** поняттям про [[похідна|похідну]] та [[диференціал (математика)|диференціал]];
** поняттям про особливі точки (нулі, екстремуми) та асимптотики функцій;
** поняттям [[первісна|первісної]]
** поняттям [[інтеграл]]а, що включає основи теорії [[Міра множини|міри]].
** поняттям про [[апроксимація|апроксимацію]], [[Інтерполяція|інтерполяцію]] та [[екстраполяція|екстраполяцію]].
** знайомством з деякими [[спеціальні функції|спеціальними функціями]].
* теорію функцій багатьох змінних, що включає
** поняття [[часткова похідна|часткової похідної]]
** поняття багатовимірного інтеграла, [[поверхневий інтеграл|поверхневого інтеграла]] та [[лінійний інтеграл|лінійного інтеграла]].
** основи [[векторне числення|векторного числення]], поняття [[векторне поле|векторного поля]], [[дивергенція (математика)|дивергенції]] та [[ротор (математика)|ротора]].
** поняття про проблему [[оптимізація (математика)|оптимізації]].
* теорію [[ряд (математика)|рядів]], що включає
** поняття про [[числовий ряд]] та [[критерії збіжності рядів|критерії його збіжності]]
** поняття про [[степеневий ряд]] та [[ряд Тейлора]].
** поняття про [[ряд Фур'є]] і принагідно про [[перетворення Фур'є]]
* основи [[чисельний аналіз|чисельного аналізу]]

Вивчення математичного аналізу закладає основи для подальшого вивчення суміжних дисциплін математики: [[комплексний аналіз|комплексного аналізу]], [[диференціальна геометрія|диференціальної геометрії]], теорії [[звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]] та [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь з частковими похідними]], що підводить до вивчення задач [[математична фізика|математичної фізики]] та [[функціональний аналіз|функціонального аналізу]].

== Див. також ==
* [[Множина]]
* [[Функція (математика)|Функція]]
* [[Похідна]], [[Диференціал (математика)|диференціал]].
* [[Інтеграл]]
* [[Міра Лебега]]
* [[Крива]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
; Українською
* {{cite book
 | author1=[[Заболоцький Микола Васильович|Заболоцький М. В.]], [[Сторож Олег Георгійович|Сторож О. Г.]], [[Тарасюк Святослав Іванович|Тарасюк С. І.]]
 | author2=
 | author3=
 | authorlink1=
 | authorlink2=Сторож Олег Георгійович
 | authorlink3=
 | title = Математичний аналіз -- 421 с. 
 | publisher= Знання 
 | year=2008
 | url = 
 | location = [[Київ]]
 | isbn=978-966-346-323-0
}} {{ref-uk}}
* {{cite book
 | author1=[[Ковальчук Богдан Васильович|Богдан Ковальчук]]
 | author2=[[Шіпка Йосиф Григорович|Йосиф Шіпка]]
 | authorlink=
 | title = Основи математичного аналізу Ч. 1. -- 370 с. 
 | publisher= Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка
 | year=2010
 | url = 
 | location = [[Львів]]
 | isbn=9789666137473
}} {{ref-uk}}
* {{cite book
 | author1=Богдан Ковальчук
 | author2=Йосиф Шіпка
 | authorlink=
 | title = Основи математичного аналізу Ч. 2. -- 418 с. 
 | publisher= Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка
 | year=2010
 | url = 
 | location = [[Львів]]
 | isbn=9789666137497
}} {{ref-uk}}
* {{cite book
 | author1= [[Рудавський Юрій Кирилович|Ю. К. Рудавський]], [[Понеділок Григорій Володимирович|Г. В. Понеділок]], [[Бобик Ігор Омелянович|І. О. Бобик]], [[Ватаманюк Остап Зіновійович|О. З. Ватаманюк]], [[Дрогомирецька Христина Теофілівна|Х. Т. Дрогомирецька]], [[Рибицька Ольга Мар'янівна|О. М. Рибицька]], [[Слюсарчук Ольга Зіновіївна|О. З. Слюсарчук]] 
 | authorlink=
 | title = Математичний аналіз : Навч. посібник для студ.
 | publisher= Нац. ун-т «Львів. політехніка»
 | year = 2002
 | pages = 307
 | url = 
 | location = Л.
 | isbn=
}} {{ref-uk}}
* {{cite book
 | author1= Ю. К. Рудавський, [[ Костробій Петро Петрович|П. П. Костробій]], [[Лібацький Леонід Львович|Л. Л. Лібацький]], [[Мохонько Анатолій Захарович|А. З. Мохонько]], [[Олексів Ігор Ярославович|І. Я. Олексів]]
 | authorlink=
 | title = Математичний аналіз : Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. Ч. 1
 | publisher= Нац. ун-т «Львів. політехніка»
 | year = 2003
 | pages = 403
 | url = 
 | location = Л.
 | isbn=
}} {{ref-uk}}
* {{cite book
 | author1= [[Шкіль Микола Іванович|Шкіль М.І.]]
 | authorlink=
 | title = Математичний аналіз: Підручник: У 2 ч.
 | publisher= Вища школа
 | year=2005
 | url = 
 | location = [[Київ]]
 | isbn=966-642-285-9
}} {{ref-uk}}
* ''Барановська, Л. В.'' [https://ela.kpi.ua/handle/123456789/19454 Чисельний розв’язок диференціально-різницевих рівнянь з постійним запізненням] / Л.&nbsp; В.&nbsp; Барановська, Г.&nbsp; Г.&nbsp; Барановська // Abstracts. XXIX International Conference “Problems of decision making under uncertainties (PDMU-2017)”, May 10-13, 2017, Mukachevo, Ukraine. – [Kyiv], 2017. – С. 126.
; Іншими мовами
* {{cite book |last=Abbott |first=Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |edition=2 |isbn=978-1493927111 |year=2015 |location=New York |publisher=Springer}} {{ref-en}}
* {{cite book |last=Rudin |first=Walter |authorlink= |title=Principles of Mathematical Analysis |series=International Series in Pure & Applied Mathematics |edition=3 |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0070856134 |year=1976 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi }} {{ref-en}}
* {{Фихтенгольц.том2}}
* {{cite book
 | author1= [[Ляшко Іван Іванович|Ляшко И. И.]], [[Боярчук Олексій Климович|Боярчук А. К.]], [[Гай Яків Гаврилович|Гай Я. Г.]], [[Головач Григорій Петрович|Головач Г. П.]]
 | authorlink=
 | title = Математический анализ в примерах и задачах. Часть 1. Введение в анализ, производная, интеграл
 | publisher= Вища школа
 | year=1974
 | url = 
 | location = [[Київ]]
 | pages = 680
 | isbn=
}} {{ref-ru}}
* {{cite book
 | author1= Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П.
 | authorlink=
 | title = Математический анализ в примерах и задачах. Часть 2. Ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы
 | publisher= Вища школа
 | year=1977
 | url = 
 | location = [[Київ]]
 | pages = 672
 | isbn=
}} {{ref-ru}}

== Посилання ==
* {{ref-ru}} [http://magr.ilt.kharkov.ua/ Математична фізика, аналіз, геометрія]&nbsp;— щоквартальний науковий журнал [[Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України|Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б.&nbsp;І.&nbsp;Вєркіна НАН України]].

{{Математика-footer}}
{{Інформатика}}
{{ВП-портали|Математика|}}

[[Категорія:Математичний аналіз| ]]
[[Категорія:Розділи математики]]