Ля́мбда-чи́слення, або λ-числення — формальна система, що використовується в теоретичній кібернетиці для дослідження визначення функції, застосування функції, та рекурсії. Це числення було запропоноване Алонсо Черчем та Стівеном Кліні в 1930-ті роки, як частина більшої спроби розробити базис математики на основі функцій, а не множин (задля уникнення таких перешкод, як Парадокс Рассела). Однак, Парадокс Кліні-Россера демонструє, що лямбда числення не здатне уникнути теоретико-множинних парадоксів. Не дивлячись на це, лямбда числення виявилось зручним інструментом в дослідженні обчислюваності функцій, та лягло в основу парадигми функціонального програмування[1].

Лямбда числення може розглядатись як ідеалізована, мінімалістича мова програмування, в цьому сенсі лямбда числення подібне до машини Тюринга, іншої мінімалістичної абстракції, здатної визначати будь-який алгоритм. Відмінність між ними полягає в тому, що лямбда числення відповідає функціональній парадигмі визначення алгоритмів, а машина Тюринга, натомість — імперативній. Тобто, машина Тюринга має певний «стан» — перелік символів, що можуть змінюватись із кожною наступною інструкцією. На відміну від цього, лямбда числення уникає станів, воно має справу з функціями, котрі отримують значення параметрів та повертають результати обчислень (можливо, інші функції), але не спричиняють до зміни вхідних даних (сталість).

Ядро λ-числення грунтується трохи більше ніж на визначені змінних, області видимості змінних та впорядкованому заміщенні змінних виразами. λ-числення є замкненою мовою, тобто, семантика мови може бути визначена на основі еквівалентності виразів (або термів) самої мови.[2]

Нотація λ-числення

Функція n змінних   в λ-численні позначається наступним чином:

 .

Символ   в лівій частині цього рівняння задає назву функції, (або ідентифікатор), за яким можна посилатись на цю функцію в інших виразах. Вираз у правій частині рівняння визначає абстракцію змінних   від виразу  , котрий називається тілом абстракції. Конструкція   є абстрактором появи вільних змінних   в тілі функції  .

Застосування функції (або абстракції) з назвою   до виразу з   аргументами   позначається:

 ,

Де   не обов'язково має дорівнювати  .

Особливим випадком є застосування абстракції до абстрагованих змінних, що повертає тіло абстракції:

 .

Задля спрощення, в λ-численні розглядаються функції від однієї змінної. Як було показано у винаході Шонфінкеля та Каррі, n-арні абстракції можна представляти у вигляді n-кратного вкладення унарних абстракцій, тобто:

 .

Використовуючи цю нотацію, застосування n-арної абстракції до r аргументів, наведене вище, матиме наступний вигляд:

 .

Такий підхід скорочує побудову виразів λ-числення до наступних синтаксичних правил:

 .

Тобто, λ-вираз це: або змінна, що позначається v, константа c, застосування λ-виразу   до λ-виразу  , або абстракція змінної v від λ-виразу   відповідно.

λ-числення називається чистим, якщо множина констант порожня. В іншому випадку, числення називається аплікативним.

Примітки

  1. Henk Barendregt 1997
  2. Kluge 2005, сторінка 51.

Джерела інформації

  • Henk Barendregt, The Bulletin of Symbolic Logic, Volume 3, Number 2, June 1997. The Impact of the Lambda Calculus in Logic and Computer Science
  • W. Kluge (2005). Abstarct Computing Machines, The Lambda Calculus perspective. Springer Verlag. ISBN 3-540-21146-2. 

Дивіться також

Ресурси інтернету