Локон Аньєзі

Локон Аньєзі — плоска крива, геометричне місце точок $M$, для яких виконується співвідношення $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$, де $OA$ — діаметр кола, $BC$ — напівхорда цього кола, перпендикулярна $OA$. Свою назву локон Аньєзі отримав на честь італійського математика Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Локон Аньєзі

Рівняння

$O=(0,0)$, $A=(0,a)$

• У декартовій системі координат:

$y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}$

Виведення  

Координати точки $M$, що лежить на локоні — $x=BM$, $y=OB$. $OA=a$ і за визначенням будуємо пропорцію

$\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}$

Звідси

$\textstyle BC={\frac {xy}{a}}$

З іншого боку $BC$ може бути знайдений з рівняння окружності:

$\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}$

Нам відомий $y=OB$, значить виражаємо $x^{2}$:

$\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$

Прирівнюємо обидва вирази для $BC$:

$\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$

Зводимо в квадрат, переносимо та виносимо $y^{2}$ за дужки:

$\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay$

Виражаємо y (y=0 не підходить за визначенням):

$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$

• Параметричне рівняння:

${\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases}}$, де $\varphi$ — кут між $OA$ і $OC$

Виведення  

Координати точки $M$ однозначно визначаються кутом $\varphi$ між $OB$ і $OC$. Якщо $OB=y$, а $BM=x$, тоді за визначенням локону можна скласти пропорцію

$\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}$

$OA$ за визначенням дорівнює $a$. З трикутника $OBC$: $BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi$, значить

$\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }}$

звідси $x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi$. Цю формулу підставляємо в рівняння кривої:

$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}$

$\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}$

Використавши тотожність, отримаємо

$y=a\cos ^{2}\varphi$

• У полярній системі рівняння локону досить складне: щоб знайти його треба розв'язати кубічне рівняння:

$\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi }}$

$\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0$

Однак отримана формула буде занадто складною і невкладистою, щоб мати якесь практичне значення.

Властивості

• Локон Аньєзі — крива третього порядку.
• Діаметр $OA$ єдина вісь симетрії кривої.
• Крива має один максимум — $A(0;a)$ і дві точки перегину — $\textstyle P_{1,2}\left(\pm {\frac {a}{\sqrt {3}}};{\frac {3a}{4}}\right)$
• В околі вершини $A$ локон наближається до кола діаметра $OA$. У точці $A$ відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує значення радіуса кривини в точці $A$: $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$.
• Площа під графіком $S=\pi a^{2}$. Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всій $\textstyle \mathbb {R}$.
• Об'єм тіла обертання навколо своєї асимптоти (осі $OX$) $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$.

Побудова

Побудова локону Аньєзі

Будується коло діаметра $a$ і дотична до нього. На дотичній обирається система відліку з початком в точці дотику. Будується пряма через обрану точку дотичної і точку кола, протилежну точці дотику. Ця пряма перетинає коло в деякій точці. Через цю точку будується пряма, паралельна дотичній. Точка локону лежить на перетині цієї прямої та перпендикуляра до дотичної в вибраній точці.

Див. також

• Крива
• Розподіл Коші

Посилання

• Witch of Agnesi [Архівовано 8 грудня 2011 у Wayback Machine.] by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Witch of Agnesi [Архівовано 7 червня 2011 у Wayback Machine.] - Mathforum.org Java applet