Лема про вкладені відрізки

Версія від 11:01, 12 грудня 2015, створена Jarozwj (обговорення | внесок) (+немає вступу)

Лема про вкладені відрізки

Загальне формулювання

Нехай існують монотонно зростаюча варіанта   та монотонно спадна варіанта  , причому завжди

 . (Посилання 1)

Якщо їх різниця   прямує до 0, тоді обидві варіанти мають спільну границю:  

Допоміжна теорема для доведення

Якщо варіанти   та   мають кінцеві границі:

 ,  ,

то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому

 

Доведення

З умови теореми випливає, що

 ,  , (посилання 2)

де  ,   - нескінченно малі. Тоді

 

Тут   є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта   має границю, що дорівнює  , що і потрібно було довести.

Доведення

Дійсно, при всіх значеннях n маємо:  , а значить, зважаючи на (1), і  . Зростаюча змінна   виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю  .

Аналогічно, для спадної змінної   будемо мати  , так що і вона прямує до кінцевою границі  .

Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь

 

тобто, за умовами рівна 0, так що  , що і треба було довести.

Класичне формулювання

Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.

Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям  . Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжка, а їх різниця b - a - довжиною проміжка. Неважко бачити, що на числовій вісі проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини).

Домовимося говорити, що відрізок   міститься в відрізку [a,b], або вкладений в ньго, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо

 

Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в одний відрізків   так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:

 

Тоді кінці   та   відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі

 ,

що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.

Це лише перефразування доведеної вище теореми. Згідно з умовою,

 

так що лівий кінець   та правий кінець   n-го відрізка грають тут роль монотонних варіант   та  .

Так як   прямує до c зростаючи, а   зменшуючись, то

 

тобто точка c дійсно належить всім нашим відрізкам. В той же час, іншої, відмінної від c, точки   з тими ж властивостями бути не може, бо інакше ми мали б:

 

і довжина n-го відрізку не могла б прямувати до 0.

Джерела