Лема про вкладені відрізки: відмінності між версіями

[неперевірена версія][очікує на перевірку]
м (дoдана Категорія:Леми з допомогою HotCat)
м (автоматична заміна {{Не перекладено}} вікі-посиланнями на перекладені статті)
 
(Не показані 12 проміжних версій 10 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
''Лема про вкладені відрізки''
'''[[Лема]] про вкладені відрізки''', або '''принцип вкладених відрізків Коші&nbsp;&mdash; Кантора'''<ref>
{{книга
|автор = Зорич В. А.
|заголовок = Математический анализ. Часть I
|видання = Изд. 4-е, испр
|місце = М.
|видавництво = «МЦНМО»
|рік = 2002
|сторінки = 81
}}
</ref>, або '''принцип неперервності Кантора'''<ref name="Кудрявцев">
{{книга
|автор = Кудрявцев Л. Д.
|заголовок = Курс математического анализа
|видання = 5-е изд
|місце = М.
|видавництво = «Дрофа»
|рік = 2003
|том = 1
|сторінки = 84
}}
</ref> &mdash; фундаментальне твердження у [[Математичний аналіз|математичному аналізі]], яке стверджує, що будь-яка [[послідовність]] вкладених [[Відрізок|відрізків]] на [[Дійсні числа|дійсній прямій]], довжина яких прямує до нуля, має єдину спільну точку.


== Мотивація ==
==Загальне формулювання==
Нехай існують монотонно зростаюча варіанта <math>x_n</math> та монотонно спадна варіанта <math>y_n</math>, причому завжди
<center>
<math>x_n < y_n</math>. (Посилання 1)
</center>
Якщо їх різниця <math>y_n - x_n</math> прямує до 0, тоді обидві варіанти мають спільну [[Границя|границю]]: <math>c = \lim x_n = \lim y_n</math>


=== Обчислення квадратних коренів ===
===Допоміжна теорема для доведення===
Намагаючись знайти квадратний корінь з числа <math> x>1 </math>, можна бути впевненим, що <math>1\leqslant \sqrt{x} \leqslant x </math>, це дає перший відрізок <math>I_0=[1, x]</math>, у якому потрібно знайти <math> \sqrt{x} </math>. Якщо знайти наступне більше [[Квадратне число|повне квадратне число]] <math>k^2 > x </math>, то можна отримати такий наступний відрізок: <math>I_1=[1, k]</math>.
Якщо варіанти <math>x_n</math> та <math>y_n</math> мають кінцеві границі:
<center>
<math>\lim x_n = a</math>, <math>\lim y_n = b</math>,
</center>
то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому
<center>
<math>\lim(x_n \pm y_n) = a \pm b</math>
</center>


Інші відрізки <math>I_n=[a_n, b_n], n\in\mathbb{N}</math> тепер можна визначити [[Рекурсія|рекурсивно]], використовуючи послідовність середніх точок <math>m_n=\frac{a_n + b_n}{2}</math>. Враховуючи, що відрізок <math>I_n</math> вже відомий (починаючи з <math>I_1</math>), можна визначити наступний:
''Доведення''


: <math>I_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
З умови теореми випливає, що
\left[m_n, b_n\right] & \text{якщо}\;\; m_n^2 \leqslant x \\
<center>
\left[a_n, m_n\right] & \text{якщо}\;\; m_n^2 > x
<math>x_n = a + \alpha_n</math>, <math>y_n = b + \beta_n</math>, (посилання 2)
\end{matrix}\right.</math>
</center>
де <math>\alpha_n</math>, <math>\beta_n</math> - [[Нескінченно_мала_величина|нескінченно малі]]. Тоді
<center>
<math>x_n \pm y_n = (a \pm b) + (\alpha_n \pm \beta_n)</math>
</center>
Тут <math>\alpha_n \pm \beta_n</math> є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням [[Границя|границі]], можна стверджувати, що варіанта <math>x_n \pm y_n</math> має границю, що дорівнює <math>a \pm b</math>, що і потрібно було довести.


Тобто порівнюємо середину відрізка <math>I_{n}</math> з <math>\sqrt{x}</math>, щоб визначити, чи є вона меншою чи більшою за <math>\sqrt{x}</math>. Якщо середина менша, то її встановлюємо як лівий кінець наступного відрізка <math>I_{n+1} </math>, а якщо середина більша, то встановити її як правий кінець наступного відрізка. Це гарантує, що <math> \sqrt{x}\in I_{n+1} </math>. У цій конструкції відрізки вкладені, а їх довжина <math>|I_n|</math> зменшується вдвічі на кожному кроці рекурсії. Таким чином, можна отримати нижню та верхню оцінки для <math>\sqrt{x} </math> з як завгодно хорошою точністю (за умови достатнього часу обчислень).
===Доведення===
Дійсно, при всіх значеннях n маємо: <math>y_n \le y_1</math>, а значить, зважаючи на (1), і <math>x_n < y_1 (n = 1, 2, 3, ...)</math>. Зростаюча змінна <math>x_n</math> виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю <math>c = \lim x_n</math>.


Можна також обчислити <math>\sqrt{y}</math>, при <math>0<y<1</math>. У цьому випадку <math>1/y>1</math>, і алгоритм можна використати, поклавши <math>x:=1/y</math> і обчисливши зворотне значення після досягнення бажаного рівня точності.
Аналогічно, для спадної змінної <math>y_n</math> будемо мати <math>y_n > x_n \ge x_1</math>, так що і вона прямує до кінцевою границі <math>c^' = \lim y_n</math>.


==== Приклад ====
Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь
Щоб продемонструвати цей алгоритм, розглянемо приклад того, як його можна використати, щоб знайти значення <math>\sqrt{19}</math>. Оскільки <math>1^2<19<5^2</math>, то перший відрізок для алгоритму можна визначити як <math>I_1:=[1,5]</math>. Таким чином, використовуючи цей відрізок, можна перейти до наступного кроку алгоритму, обчисливши його середину, визначивши, чи квадрат знайденої середини більший або менший за 19, і встановивши відповідно кінці наступного відрізка, потім повторити процес:
<center>
<math>c^' - c = \lim (y_n - x_n)</math>
</center>
тобто, за умовами рівна 0, так що <math>c^' = c</math>, що і треба було довести.


: <math>\begin{aligned}
==Класичне формулювання==
m_1&=\dfrac{1+5}{2}=3 &&\Rightarrow\; m_1^2=9 \leqslant 19 &&\Rightarrow\; I_2=[3, 5]\\
Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.
m_2&=\dfrac{3+5}{2}=4 &&\Rightarrow\; m_2^2=16 \leqslant 19 &&\Rightarrow\; I_3=[4, 5]\\
m_3&=\dfrac{4+5}{2}=4.5 &&\Rightarrow\; m_3^2=20.25 > 19 &&\Rightarrow\; I_4=[4, 4.5]\\
m_4&=\dfrac{4+4.5}{2}=4.25 &&\Rightarrow\; m_4^2=18.0625 \leqslant 19 &&\Rightarrow\; I_5=[4.25, 4.5]\\
m_5&=\dfrac{4.25+4.5}{2}=4.375 &&\Rightarrow\; m_5^2=19.140625 > 19 &&\Rightarrow\; I_5=[4.25, 4.375]\\
&\vdots & &
\end{aligned}</math>


Кожного разу, коли обчислюється нова середня точка, діапазон можливих значень для <math>\sqrt{19}</math> зменшується, значення, які залишаються в межах відрізка, стають все ближчими до фактичного значення <math>\sqrt{19}=4.35889894\dots</math>. Тобто кожна послідовна зміна в кінцях відрізка, в якому знаходитися <math>\sqrt{19}</math>, дозволяє оцінити значення <math>\sqrt{19}</math> з більшою точність&nbsp;&mdash; або через збільшення лівого кінця відрізка, або через зменшення правого кінця відрізка.
Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям
<math>a \le x \le b</math>.
Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжка, а їх різниця b - a - довжиною проміжка. Неважко бачити, що на [[Числова_вісь|числовій вісі]] проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини).


Цю процедуру можна повторювати стільки разів, скільки необхідно для досягнення бажаного рівня точності. Теоретично, повторюючи кроки необмежено, можна прийти до справжнього значення цього квадратного кореня.
Домовимося говорити, що відрізок <math>[a^',b^']</math> міститься в відрізку [a,b], або вкладений в ньго, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо
<center>
<math>a \le a^' \le b^' \le b</math>
</center>


==== Метод Герона ====
''Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в одний відрізків'' <math>[a_1, b_1], [a_2, b_2], ..., [a_n, b_n], ...,</math> ''так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:''
{{не перекладено|Методи обчислення квадратного коріння#Вавилонський метод|Вавилонський метод|en|Methods of computing square roots#Babylonian method}} використовує більш ефективний алгоритм, який швидше наближається до значення <math>\sqrt{x}</math>. Сучасний опис із використанням вкладених відрізків схожий на наведений вище алгоритм, але замість послідовності середніх точок використовується послідовність <math>\{c_n\}_{n\in\mathbb{N}}</math>, задана наступним чином:


<math>\lim (b_n - a_n) = 0</math>
: <math>c_{n+1}:=\frac{1}{2}\cdot\left(c_n + \frac{x}{c_n}\right)</math>.


Це призводить до послідовності відрізків <math>I_{n+1}:=\left[\frac{x}{c_n}, c_n\right]</math>, де <math>I_1=[0, k]</math> і <math> k^2>x </math>, які швидко забезпечуюють гарні верхні та нижні оцінки для <math>\sqrt{x}</math>. На практиці потрібно обчислювати лише <math>c_n</math>, що [[Границя послідовності|збігається]] до <math>\sqrt{x}</math>. Цей алгоритм є окремим випадком [[Метод Ньютона|методу Ньютона]].
''Тоді кінці'' <math>a_n</math> ''та'' <math>b_n</math> ''відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі''


=== Обчислення числа π ===
<math>c = \lim a_n = \lim b_n</math>,
[[File:Archimedes pi.svg|upright=1.59|thumb|alt=Схема шестикутника та п'ятикутника, описаного поза колом|{{pi}} можна оцінити шляхом обчислення периметрів описаного та вписаного багатокутників.]]
Як показано на зображенні, коло можна наближати за допомогою вписаних і описаних правильних многокутників. Довжина кола діаметра <math>1</math> дорівнює [[Число пі|числу <math>\pi</math>]] за визначенням цього числа.


Близько 250 р. до н.е. [[Архімед|Архімед із Сіракуз]] почав з правильних [[Шестикутник|шестикутників]], чиї довжини сторін можна безпосередньо обчислити через діаметр кола. Крім того, можна знайти спосіб обчислення довжини сторони правильного <math>2n</math>-кутника з попереднього <math>n</math>-кутника, починаючи з правильного шестикутника. Послідовно подвоюючи кількість ребер до 96-кутників, Архімед досяг оцінки <math>\tfrac{223}{71}< \pi < \tfrac{22}{7} </math>. Верхня оцінка <math>22/7 \approx 3.143 </math> досі часто використовується як грубе, але прагматичне наближення числа <math>\pi</math>.
''що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.''


Приблизно в 1600 році нашої ери метод Архімеда все ще був основним методом обчислення числа π. Цей метод насправді не дуже швидко збігається&nbsp;&mdash; Голландському математику [[Людольф ван Цейлен|Людольфу ван Цейлену]] для обчислення більш ніж тридцяти цифр числа π після коми знадобилося десятиліття. Незабаром були знайдені більш потужні методи обчислення.
Це лише перефразування доведеної вище теореми. Згідно з умовою,


=== Інші реалізації ===
<math>a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n</math>
Ранні випадки використання послідовностей вкладених відрізків (їх можна описати за допомогою сучасної математики) можна знайти в попередниках [[Диференціальне та інтегральне числення|диференціального та інтегрального числення]]. В [[Інформатика|інформатиці]] послідовності вкладених відрізків використовуються в алгоритмах чисельних обчислень. На відміну від математичних нескінченних послідовностей, застосовуваний обчислювальний алгоритм завершується в певний момент, коли шукане число було знайдене або достатньо добре [[Апроксимація|наближене]].


== Формулювання ==
так що лівий кінець <math>a_n</math> та правий кінець <math>b_n</math> n-го відрізка грають тут роль монотонних варіант <math>x_n</math> та <math>y_n</math>.
Нехай <math>\{[a_{n}, b_{n}] \mid n \geqslant 1 \}</math>&nbsp;&mdash; послідовність відрізків, для яких виконуються наступні умови:


: 1) <math>\forall n \geqslant 1 \, [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_{n}, b_{n}]</math>,
Так як <math>a_n</math> прямує до c зростаючи, а <math>b_n</math> зменшуючись, то
: 2) <math>\forall \varepsilon > 0</math> існує <math>n \in \mathbb{N}</math> таке, що <math>b_n - a_n < \varepsilon </math>.


Тоді існує єдина точка <math>x \in \mathbb{R}</math> така, що для будь-якого <math>n \in \mathbb{N}</math> буде <math>x \in [a_{n}, b_{n}]</math>, тобто
<math>a_n \le c \le b_n (n = 1, 2, 3 ...)</math>


<center><math>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}[a_n, b_n] = \{x\}</math>.</center>
тобто точка c дійсно належить всім нашим відрізкам. В той же час, іншої, відмінної від c, точки <math>c^'</math> з тими ж властивостями бути не може, бо інакши ми мали б:


'''Зауваження'''
<math>b_n - a_n \ge | c^' - c | > 0</math>


Відрізки у формулюванні теореми не можна замінити на відкриті [[Інтервал (математика)|інтервали]] або [[Напівінтервал|напівінтервали]]. Наприклад,
і довжина n-го відрізку не могла б прямувати до 0.


: <math>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing</math>
== Джерела ==
: <math>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right] = \varnothing</math>
Г.М. Фихтенгольц. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ТОМ 1. Издание седьмое, стереотипное. Издательство "НАУКА". Москва 1969
: <math>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left[ -\frac{1}{n}, 0 \right) = \varnothing</math>


== Доведення ==
[[категорія: математичний_аналіз]]
[[Категорія:Леми]]


''Існування спільної точки.'' Оскільки
[[de:Intervallschachtelung]]

[[en:Nested intervals]]
<center><math>[a, b] \subseteq [c, d] \, \Leftrightarrow \, c \leqslant a \leqslant b \leqslant d</math>,</center>
[[es:Principio de los intervalos encajados]]

[[pt:Teorema do encaixe de intervalos]]
то за умовою 1)
[[ru:Лемма о вложенных отрезках]]

<center><math>\forall n \geqslant 1 \, a_1 \leqslant a_2 \leqslant \dots \leqslant a_n < b_n \leqslant b_{n-1} \leqslant \dots \leqslant b_1</math>.</center>

Розглянемо [[Множина|множину]] <math>A := \{a_{1}, \dots, a_{n}, \dots \}</math> і доведемо, що при будь-якому <math>m \in \mathbb{N}</math> число <math>b_m</math> є [[Верхня та нижня межа|верхнею межею]] множини <math>A</math>. Дійсно, якщо <math>n \leqslant m</math>, то за умовою 1)

: <math>[a_m, b_m] \subseteq [a_n, b_n]\, \Leftrightarrow \, a_n \leqslant a_m < b_m \leqslant b_n</math>, звідки <math>a_n < b_m</math>.

Якщо ж <math>n > m</math>, то за цією умовою

: <math>[a_n, b_n] \subseteq [a_m, b_m]\, \Leftrightarrow \, a_m \leqslant a_n < b_n \leqslant b_m</math> і знову <math>a_n < b_m</math>.

За [[Верхня та нижня межа#Теорема про грані|теоремою про існування точної верхньої межі]]

<center><math>\exists x \in \mathbb{R}: \, x = \sup A</math>,</center>

причому згідно означення [[Супремум|точної верхньої межі]] <math>\forall n \in \mathbb{N}\, a_n \leqslant x</math> і <math>\forall m \in \mathbb{N}\, x \leqslant b_m</math>. Тому для довільного <math>n \in \mathbb{N}\, x \in [a_n, b_n]</math>.

''Єдиність спільної точки.'' Припустимо, що існує <math>y \in \mathbb{R}</math> таке, що <math>\forall n \in \mathbb{N} \, y \in [a_n, b_n]</math>. Не втрачаючи загальності, припустимо, що <math>y \geqslant x</math>. Тоді з умови 2) виливає, що

<center><math>\forall \varepsilon > 0 \, \exists n \in \mathbb{N}: \, 0 \leqslant y - x \leqslant b_n - a_n < \varepsilon </math>,</center>

тобто <math>\forall \varepsilon > 0</math> буде <math>0 \leqslant y - x < \varepsilon</math>, звідси <math>y = x</math> (якщо <math>y > x</math>, то досить взяти <math>\varepsilon := \frac{1}{2}(y - x)</math>, щоб отримати суперечність), що завершує доведення леми.

'''Зауваження'''. Якщо з формулювання леми вилучити умову 2), то повторюючи міркування при доведенні існування спільної точки, отримаємо, що існує принаймні одна спільна точка, яка не обов'язково єдина.

== Див. також ==
* [[Бісекція]]
* [[Метод бісекції]]
* [[Теорема Кантора про перетини]]

== Література ==
* {{книга
|автор = [[Дороговцев Анатолій Якович|Дороговцев А. Я.]]
|заголовок = Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1
|посилання =
|видання =
|місце = Київ
|видавництво = Либідь
|рік = 1993
|сторінок = 320
|isbn = 5-325-00380-1
|ref =
}}
* {{книга
|автор = Зорич В. А.
|заголовок = Математический анализ. Часть I
|видання = Изд. 4-е, испр
|місце = М.
|видавництво = «МЦНМО»
|рік = 2002
|сторінки = 81
}}
* {{Фихтенгольц.том1}}

== Примітки ==
{{Reflist}}

[[Категорія:Математичний_аналіз]]
[[Категорія:Леми]]

Поточна версія на 21:00, 15 серпня 2022

Лема про вкладені відрізки, або принцип вкладених відрізків Коші — Кантора[1], або принцип неперервності Кантора[2] — фундаментальне твердження у математичному аналізі, яке стверджує, що будь-яка послідовність вкладених відрізків на дійсній прямій, довжина яких прямує до нуля, має єдину спільну точку.

МотиваціяРедагувати

Обчислення квадратних коренівРедагувати

Намагаючись знайти квадратний корінь з числа  , можна бути впевненим, що  , це дає перший відрізок  , у якому потрібно знайти  . Якщо знайти наступне більше повне квадратне число  , то можна отримати такий наступний відрізок:  .

Інші відрізки   тепер можна визначити рекурсивно, використовуючи послідовність середніх точок  . Враховуючи, що відрізок   вже відомий (починаючи з  ), можна визначити наступний:

 

Тобто порівнюємо середину відрізка   з  , щоб визначити, чи є вона меншою чи більшою за  . Якщо середина менша, то її встановлюємо як лівий кінець наступного відрізка  , а якщо середина більша, то встановити її як правий кінець наступного відрізка. Це гарантує, що  . У цій конструкції відрізки вкладені, а їх довжина   зменшується вдвічі на кожному кроці рекурсії. Таким чином, можна отримати нижню та верхню оцінки для   з як завгодно хорошою точністю (за умови достатнього часу обчислень).

Можна також обчислити  , при  . У цьому випадку  , і алгоритм можна використати, поклавши   і обчисливши зворотне значення після досягнення бажаного рівня точності.

ПрикладРедагувати

Щоб продемонструвати цей алгоритм, розглянемо приклад того, як його можна використати, щоб знайти значення  . Оскільки  , то перший відрізок для алгоритму можна визначити як  . Таким чином, використовуючи цей відрізок, можна перейти до наступного кроку алгоритму, обчисливши його середину, визначивши, чи квадрат знайденої середини більший або менший за 19, і встановивши відповідно кінці наступного відрізка, потім повторити процес:

 

Кожного разу, коли обчислюється нова середня точка, діапазон можливих значень для   зменшується, значення, які залишаються в межах відрізка, стають все ближчими до фактичного значення  . Тобто кожна послідовна зміна в кінцях відрізка, в якому знаходитися  , дозволяє оцінити значення   з більшою точність — або через збільшення лівого кінця відрізка, або через зменшення правого кінця відрізка.

Цю процедуру можна повторювати стільки разів, скільки необхідно для досягнення бажаного рівня точності. Теоретично, повторюючи кроки необмежено, можна прийти до справжнього значення цього квадратного кореня.

Метод ГеронаРедагувати

Вавилонський метод[en] використовує більш ефективний алгоритм, який швидше наближається до значення  . Сучасний опис із використанням вкладених відрізків схожий на наведений вище алгоритм, але замість послідовності середніх точок використовується послідовність  , задана наступним чином:

 .

Це призводить до послідовності відрізків  , де   і  , які швидко забезпечуюють гарні верхні та нижні оцінки для  . На практиці потрібно обчислювати лише  , що збігається до  . Цей алгоритм є окремим випадком методу Ньютона.

Обчислення числа πРедагувати

 
π можна оцінити шляхом обчислення периметрів описаного та вписаного багатокутників.

Як показано на зображенні, коло можна наближати за допомогою вписаних і описаних правильних многокутників. Довжина кола діаметра   дорівнює числу   за визначенням цього числа.

Близько 250 р. до н.е. Архімед із Сіракуз почав з правильних шестикутників, чиї довжини сторін можна безпосередньо обчислити через діаметр кола. Крім того, можна знайти спосіб обчислення довжини сторони правильного  -кутника з попереднього  -кутника, починаючи з правильного шестикутника. Послідовно подвоюючи кількість ребер до 96-кутників, Архімед досяг оцінки  . Верхня оцінка   досі часто використовується як грубе, але прагматичне наближення числа  .

Приблизно в 1600 році нашої ери метод Архімеда все ще був основним методом обчислення числа π. Цей метод насправді не дуже швидко збігається — Голландському математику Людольфу ван Цейлену для обчислення більш ніж тридцяти цифр числа π після коми знадобилося десятиліття. Незабаром були знайдені більш потужні методи обчислення.

Інші реалізаціїРедагувати

Ранні випадки використання послідовностей вкладених відрізків (їх можна описати за допомогою сучасної математики) можна знайти в попередниках диференціального та інтегрального числення. В інформатиці послідовності вкладених відрізків використовуються в алгоритмах чисельних обчислень. На відміну від математичних нескінченних послідовностей, застосовуваний обчислювальний алгоритм завершується в певний момент, коли шукане число було знайдене або достатньо добре наближене.

ФормулюванняРедагувати

Нехай   — послідовність відрізків, для яких виконуються наступні умови:

1)  ,
2)   існує   таке, що  .

Тоді існує єдина точка   така, що для будь-якого   буде  , тобто

 .

Зауваження

Відрізки у формулюванні теореми не можна замінити на відкриті інтервали або напівінтервали. Наприклад,

 
 
 

ДоведенняРедагувати

Існування спільної точки. Оскільки

 ,

то за умовою 1)

 .

Розглянемо множину   і доведемо, що при будь-якому   число   є верхнею межею множини  . Дійсно, якщо  , то за умовою 1)

 , звідки  .

Якщо ж  , то за цією умовою

  і знову  .

За теоремою про існування точної верхньої межі

 ,

причому згідно означення точної верхньої межі   і  . Тому для довільного  .

Єдиність спільної точки. Припустимо, що існує   таке, що  . Не втрачаючи загальності, припустимо, що  . Тоді з умови 2) виливає, що

 ,

тобто   буде  , звідси   (якщо  , то досить взяти  , щоб отримати суперечність), що завершує доведення леми.

Зауваження. Якщо з формулювання леми вилучити умову 2), то повторюючи міркування при доведенні існування спільної точки, отримаємо, що існує принаймні одна спільна точка, яка не обов'язково єдина.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. — М. : «МЦНМО», 2002. — С. 81.
  2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М. : «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 84.