Відкрити головне меню

Лема Гронуолла—Беллманалема про інтегральні (диференціальні) нерівності[1][2]. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.

Зміст

ФормулюванняРедагувати

В інтегральній формі.

Нехай

  •  
  •  
  •  

причому при   виконується нерівність:

 

де   — деяка додатна константа. Тоді для довільного   виконується оцінка

 

В диференціальні формі.

Нехай

  •  

причому при   виконується нерівність:

 

Тоді для довільного   виконується оцінка

 

Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій  , але вимагається диференційовність функції  .

ДоведенняРедагувати

Із нерівності (1) отримуємо

 

та

 

Оскільки

 

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від   до  , матимемо

 

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

 

що й треба було довести.

ПриміткиРедагувати

  1. Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
  2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94

ДжерелаРедагувати

  1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)