Відкрити головне меню

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.

Криволінійний інтеграл І родуРедагувати

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму

 .

Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.

Нехай   — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо   ( ) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають

  або  .

Таким чином, за означенням

 .

Криволінійний інтеграл ІІ родуРедагувати

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму

 ,

де   — проекція дуги Mi-1Mi на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.

Нехай   — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо   ( ) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (xi;yi), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають

  або  .

Таким чином, за означенням

 .

Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:

 ,

де   — проекція дуги Mi-1Mi на вісь Oy.

Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:

 

Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно: