Комутативне кільце — кільце, в якому операція множення є комутативною.

Вивченням кілець взагалі займається теорія кілець (частина абстрактної алгебри). А вивченням комутативних кілець, їх ідеалів та модулів над такими кільцями займається комутативна алгебра.

Алгебрична геометрія та Алгебрична теорія чисел базуються саме на комутативній алгебрі.

Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):

комутативне кільцеобласть цілісностіЦілозамкнена областьфакторіальне кільцекільце головних ідеалівевклідове кільцеполе.

Визначення і приклади

Визначення

Для отримання докладнішої інформації з цієї теми, див. Кільце (алгебра).

Кільце це множина R, що містить додатково дві бінарні операції, тобто операції, що поєднують будь-які два елементи кільця у третій елемент. Ці операції називаються додавання і множення і як правило позначаються символами "+" і "⋅"; тобто a + b і ab. Щоб утворювати кільце ці операції повинні задовольняти декільком властивостям: кільце повинно бути абелевою групою відносно додавання, а також моноїдом відносно множення, де множення є дистрибутивним відносно додавання; тобто, a ⋅ (b + c) = (ab) + (ac). Одиничні елементи для додавання і множення позначаються як 0 і 1, відповідно.

Якщо множення ж комутативним, тобто

ab = ba,

тоді кільце R називають комутативним.

Див. також

Джерела