Відкрити головне меню

Кватерніон можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

,

множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:

Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:

Поворот точки навколо осі в 3-вимірному просторіРедагувати

Покажемо що результатом повороту вектора   на кут   відносно осі   (одиничний вектор) буде:  , де

  — чисто векторний кватерніон,
  — чисто векторний кватерніон,
 

Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:

 

Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):

 

Обчислимо добуток:

 
 

де   та   компоненти вектора   паралельні і перпендикулярні до   відповідно:

  •  
  •  
  •  

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.

Кількість операційРедагувати

Обчислення результату двох поворотів
Зберігання Множення Додавання
Матриця повороту   9 27 18
Кватерніон   4 16 12
Обчислення повороту точки
Зберігання Множення Додавання
Матриця повороту   9 9 6
Кватерніон   4 15 12

Матриця поворотуРедагувати

Докладніше: Матриця повороту
  • Поворотові за допомогою одиничного кватерніона   відповідає наступна матриця повороту
 
  • Якщо представимо кватерніон у вигляді   тоді
 

Доданки ідентичні доданкам із формули отриманої через кватерніони.

Для спрощення обчислень, зведемо подібні доданки та вернемось до векторної форми (формула повороту Родрігеса):

 

Перший та другий доданки вже не є обов'язково ортогональними.