Відкрити головне меню

Квантилі (процентилі) розподілу хі-квадрат — числові характеристики, що широко використовуються в завданнях математичної статистики, таких як побудова довірчих інтервалів, перевірка статистичних гіпотез і непараметричне оцінювання.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Нехай   — функція розподілу хі-квадрат   з   ступенями свободи, і  . Тоді  -квантилем цього розподілу називається число   таке, що

 .

ЗауваженняРедагувати

  • Прямо з означення випливає, що випадкова величина, що має розподіл хі-квадрат з   ступенями свободи, не перевищує значення   з ймовірністю   і перевищує його з ймовірністю  .
  • Функція   строго зростає для будь-якого  . Звідси визначена її обернена функція  , і
 .
  • Функція   не має простого представлення. Проте, можливо обчислити її значення чисельно.

Апроксимація квантилівРедагувати

Для отримання наближених значень квантилів розподілу хі-квадрат   існують апроксимації.

  • Апроксимація Корніша-Фішера [1]

 ,

де

 ,

 

 

 

 

  при  

  при  

  • Апроксимація Голдштейна [2]

 ,

де d визначається аналогічно, а коефіцієнти a,b,c наведені в таблиці

a b c
1.0000886 -0.2237368 -0.01513904
0.4713941 0.02607083 -0.008986007
0.0001348028 0.01128186 0.02277679
-0.008553069 -0.01153761 -0.01323293
0.00312558 0.005169654 -0.006950356
-0.0008426812 0.00253001 0.001060438
0.00009780499 -0.001450117 0.001565326

Таблиця квантилівРедагувати

Таблиця, що наведена нижче, отримана за допомогою функції chi2inv пакету MATLAB. Щоб отримати значення  , необхідно знайти рядок, відповідний потрібному  , і колонку, відповідну потрібному  . Шукане число знаходиться в таблиці на їх перетині.

ПрикладРедагувати

 ;
 .

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Golberg H., Levine H. Approximate formulas for the percentage points and normalization of t and   // AMS. 1945. V.17. P. 216-225.
  2. Goldstein R.B. Chi-square quantiles, Algorithm 51 // Commun. Assoc. Comp. 1973. V. 16. P. 483-485.