Зірка (геометрія)

Версія від 18:23, 8 лютого 2007, створена A1 (обговорення | внесок) (Нова сторінка: {{Помилки}} thumb|П'ятикутна зірка, вписана в [[п'ятикутник]] '''Зірка''' -...)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)

Зірка - плоска геометрична фігура, складена із трикутних променів, що виходять із загального центра, що зливаються в крапці сходження.

П'ятикутна зірка, вписана в п'ятикутник

По кількості променів виділяють триконечні, чотириконечні т.д. зірки. Довільна n-кінцева зірка будується в такий спосіб: будується окружність. (Назвемо відрізок, що перетинає цю окружність не більш ніж в одній крапці, "зовнішнім".) На ній довільним чином вибирають n крапок (назвемо їх "синіми"). Далі поза колом, обмеженого цією окружністю, ставляться n крапок (назвемо їх "червоними") так, щоб будь-яка синя крапка була з'єднана зовнішніми відрізками рівно із двома червоними, а будь-яка червона крапка була з'єднана двома зовнішніми відрізками рівно із двома синіми; при цьому ніякі два із цих відрізків не повинні перетинатися інакше як у кінцях; і кути між двома відрізками, що виходять із однієї синьої крапки, - т.зв. зовнішні кути зірки, - повинні бути тупими (отже, кути між двома відрізками, що виходять із однієї червоної крапки, - так називані внутрішні кути зірки, - повинні бути гострими).

Зіркою буде називатися багатокутник, утворений побудованими нами зовнішніми відрізками. Очевидно, n-кінцева зірка є 2n-косинцем. Можна визначити n-кінцеву зірку як 2n-косинець, у якого кути при вершинах по черзі те тупі, те гострі.

Окружність, на якій будувалася зірка, називається базової; очевидно, базова окружність входить у зірку; радіус базової окружності є важливою характеристикою зірки.

Правильна чотириконечна зірка

Фігура, обмежена двома відрізками, що виходять із однієї червоної крапки, і дугою базової окружності, на яку цей кут опирається, називається променем зірки. Очевидно:

  • кількість променів дорівнює угольности зірки (тому іноді n-кінцеву зірку називають n-променевий);
  • зірка суть об'єднання променів з базовою окружністю;
  • у правильної зірки прямі сторони всіх променів рівні. (Зірку, у якої в кожного променя прямі сторони рівні, але пряма сторона одного променя не обов'язково дорівнює прямій стороні іншого променя, називають напівправильної; правильна зірка - приватний вид напівправильної.)

Промені (у примітивному змісті) з початком у центрі базової окружності й минаючі через червоні крапки, називаються радиалами відповідним даним червоним крапкам променям зірки. Зірка, у якої довжини всіх радиалов рівні, називається равнолучевой.

У напівправильної зірки кути між двома сусідніми радиалами рівні. У правильної зірки, крім цього, довжини радиалов рівні. Таким чином, правильна зірка суть напівправильна равнолучевая зірка.

Див. також